Упр.21 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Образующая усечённого конуса равна $$2a$$ и наклонена к основанию под углом $$60^\circ$$. Радиус одного основания вдвое больше радиуса другого основания. Найдите радиусы.

Подробный ответ

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Это равнобедренная трапеция, у которой боковые стороны равны образующей $$AB=CD=2a$$, а угол между образующей и основанием равен $$60^\circ$$.

Пусть $$R$$ — радиус большего основания, $$r$$ — радиус меньшего основания. По условию $$R=2r$$.

Опустим из точки $$B$$ перпендикуляр $$BM$$ на основание. Тогда в прямоугольном треугольнике $$ABM$$

$$AM=AB\cdot \cos 60^\circ=2a\cdot \frac12=a.$$

Но отрезок $$AM$$ равен разности радиусов оснований:

$$AM=R-r.$$

Следовательно,

$$R-r=a.$$

С учётом $$R=2r$$ получаем:

$$2r-r=a,\qquad r=a.$$

Тогда

$$R=2r=2a.$$

Ответ: $$r=a,\; R=2a$$.