Упр.21 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Расстояния от точки A до вершин квадрата равны $$a$$. Найдите расстояние от точки A до плоскости квадрата, если сторона квадрата равна $$b$$.

Так как $$AB=AC=AD=AF=a,$$ то точка $$A$$ равноудалена от всех вершин квадрата $$BCDF.$$ Следовательно, проекция точки $$A$$ на плоскость квадрата — это его центр $$O$$, то есть точка пересечения диагоналей.

Тогда $$OB$$ равно половине диагонали квадрата. Найдём диагональ:

$$BD=\sqrt{BF^2+FD^2}=\sqrt{b^2+b^2}=b\sqrt{2}.$$

Значит,

$$OB=\frac{1}{2}BD=\frac{b\sqrt{2}}{2}.$$

В прямоугольном треугольнике $$AOB$$ имеем:

$$AO=\sqrt{AB^2-OB^2}=\sqrt{a^2-\left(\frac{b\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\sqrt{a^2-\frac{b^2}{2}}.$$

Ответ: $$\sqrt{a^2-\frac{b^2}{2}}.$$