Упр.21 Раздел 2 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что геометрическое место середин отрезков с концами на двух скрещивающихся прямых есть плоскость, параллельная этим прямым (рис. 34).

Подробный ответ

Пусть на прямой $$a$$ взяты точки $$A$$ и $$C$$, а на прямой $$b$$ — точки $$B$$ и $$D$$. Обозначим через $$M$$, $$N$$ и $$K$$ середины отрезков $$AB$$, $$BC$$ и $$CD$$ соответственно.

Через точки $$M$$, $$N$$ и $$K$$ проведём плоскость $$\gamma$$.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Так как $$M$$ и $$N$$ — середины его сторон $$AB$$ и $$BC$$, то $$MN$$ — средняя линия треугольника, следовательно,

$$MN \parallel AC.$$

Аналогично, в треугольнике $$BDC$$ точки $$N$$ и $$K$$ — середины сторон $$BC$$ и $$CD$$, значит,

$$NK \parallel BD.$$

Но $$AC \subset a$$, а $$BD \subset b$$. Следовательно, в плоскости $$\gamma$$ лежат две пересекающиеся прямые $$MN$$ и $$NK$$, соответственно параллельные прямым $$a$$ и $$b$$.

Значит, плоскость $$\gamma$$ параллельна обеим скрещивающимся прямым $$a$$ и $$b$$. Поэтому все середины отрезков с концами на прямых $$a$$ и $$b$$ лежат в одной плоскости, параллельной этим прямым.

Обратно, если взять любую точку этой плоскости, то через неё можно провести отрезок с концами на прямых $$a$$ и $$b$$ так, что его середина совпадёт с данной точкой. Следовательно, искомое геометрическое место — вся плоскость $$\gamma$$.

Ответ: геометрическое место середин таких отрезков есть плоскость, параллельная прямым $$a$$ и $$b$$.