Упр.21 Раздел 2 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Докажите, что геометрическое место середин отрезков с концами на двух скрещивающихся прямых есть плоскость, параллельная этим прямым (рис. 34).

Подробный ответ

Пусть на прямой $$a$$ взяты точки $$A$$ и $$C$$, а на прямой $$b$$ — точки $$B$$ и $$D$$. Обозначим через $$M$$, $$N$$ и $$K$$ середины отрезков $$AB$$, $$BC$$ и $$CD$$ соответственно.

Через точки $$M$$, $$N$$ и $$K$$ проведём плоскость $$\gamma$$.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Так как $$M$$ и $$N$$ — середины его сторон $$AB$$ и $$BC$$, то $$MN$$ — средняя линия треугольника $$ABC$$. Следовательно,

$$MN \parallel AC.$$

Аналогично, в треугольнике $$BDC$$ точки $$N$$ и $$K$$ — середины сторон $$BC$$ и $$CD$$, значит, $$NK$$ — средняя линия этого треугольника, поэтому

$$NK \parallel BD.$$

Но прямые $$AC$$ и $$BD$$ лежат соответственно на скрещивающихся прямых $$a$$ и $$b$$. Значит, прямые $$MN$$ и $$NK$$ лежат в плоскости $$\gamma$$ и параллельны прямым $$a$$ и $$b$$ соответственно.

Следовательно, плоскость $$\gamma$$ содержит все середины отрезков с концами на прямых $$a$$ и $$b$$. Обратно, любая середина такого отрезка принадлежит этой же плоскости, значит, искомое геометрическое место — плоскость $$\gamma$$.

Остаётся заметить, что эта плоскость параллельна прямым $$a$$ и $$b$$, так как содержит две пересекающиеся прямые $$MN$$ и $$NK$$, соответственно параллельные этим прямым.