Упр.20 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Через каждую вершину треугольника проведена прямая, которая делит его периметр пополам. Докажите, что эти прямые пересекаются в одной точке.
Пусть прямые, проведённые через вершины $$A,$$ $$B,$$ $$C,$$ пересекают противоположные стороны треугольника $$ABC$$ в точках $$A’,$$ $$B’,$$ $$C’$$ соответственно.
Так как каждая из этих прямых делит периметр треугольника пополам, то получаем:
$$AC’ + C’B = AB’ + B’A + A’C,$$
$$BA’ + A’C = BC’ + C’A + A’B,$$
$$CB’ + B’A = CA’ + A’C + C’B.$$
Из первого и третьего равенств вычтем одно из другого:
$$AB’ — BA’ = BA’ — AB’,$$
откуда
$$AB’ = BA’.$$
Аналогично из второго и третьего равенств получаем:
$$A’C = AC’.$$
Теперь сложим первые два равенства:
$$AC’ + C’B + AB’ + BA’ + A’C + C’B = BA’ + A’C + CB’ + AB’ + B’C + AC’.$$
После сокращения одинаковых слагаемых получаем:
$$2C’B = 2B’C,$$
значит,
$$C’B = B’C.$$
Следовательно, для треугольника $$ABC$$ и точек $$A’,$$ $$B’,$$ $$C’$$ выполняется условие теоремы Чевы:
$$\frac{AC’}{C’B}\cdot \frac{BA’}{A’C}\cdot \frac{CB’}{B’A}=1.$$
Значит, прямые $$AA’,$$ $$BB’,$$ $$CC’$$ пересекаются в одной точке.
Ответ
Прямые, делящие периметр треугольника пополам и проведённые через его вершины, пересекаются в одной точке.