Упр.20 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Через каждую вершину треугольника проведена прямая, которая делит его периметр пополам. Докажите, что эти прямые пересекаются в одной точке.

Пусть прямые, проведённые через вершины треугольника, пересекают противоположные стороны в точках $$A’$$, $$B’$$ и $$C’$$ соответственно.

Так как каждая из этих прямых делит периметр треугольника пополам, то получаем:

$$AC’ + C’B = BA’ + A’C + CB’,$$

$$BA’ + A’C = AB’ + B’C + AC’,$$

$$AC’ + C’A = AB’ + B’C + A’C.$$

Из первого и третьего равенств вычтем второе:

$$AB’ — BA’ = BA’ — AB’,$$

откуда

$$AB’ = BA’.$$

Аналогично из второго и третьего равенств получаем:

$$A’C = AC’.$$

Теперь сложим первые два равенства:

$$AC’ + C’B + AB’ + BA’ + A’C + C’B = BA’ + A’C + CB’ + AB’ + B’C + AC’.$$

После сокращения имеем:

$$2C’B = 2B’C,$$

то есть

$$C’B = B’C.$$

Следовательно,

$$\frac{AC’}{C’B}\cdot \frac{BA’}{A’C}\cdot \frac{CB’}{B’A} = 1.$$

По теореме Чевы прямые $$AA’$$, $$BB’$$ и $$CC’$$ пересекаются в одной точке.