Упр.20 Раздел 8 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. 8–20. По данным радиусам оснований $$R$$ и $$r$$ определите отношение объёмов усечённого конуса и полного конуса.

Обозначим высоту полного конуса через $$x$$, а высоту усечённого конуса — через $$h$$.

Из подобия малого и большого конусов получаем:

$$\frac{x}{x-h}=\frac{R}{r}$$

Отсюда

$$x=\frac{hR}{R-r}.$$

Объём усечённого конуса:

$$V_2=\frac{1}{3}\pi h\left(R^2+Rr+r^2\right).$$

Объём полного конуса:

$$V_1=\frac{1}{3}\pi R^2x=\frac{1}{3}\pi R^2\cdot \frac{hR}{R-r}=\frac{1}{3}\pi h\cdot \frac{R^3}{R-r}.$$

Найдём отношение объёмов:

$$\frac{V_2}{V_1}=\frac{\frac{1}{3}\pi h\left(R^2+Rr+r^2\right)}{\frac{1}{3}\pi h\cdot \frac{R^3}{R-r}}=\frac{\left(R^2+Rr+r^2\right)(R-r)}{R^3}.$$

Раскроем скобки:

$$\frac{V_2}{V_1}=\frac{R^3-r^3}{R^3}=1-\left(\frac{r}{R}\right)^3.$$

Ответ: $$1-\left(\frac{r}{R}\right)^3$$.