Упр.20 Раздел 8 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: По данным радиусам оснований R и r определите отношение объемов усеченного конуса и полного конуса.

Подробный ответ

Обозначим высоту полного конуса через $$x$$, а высоту усечённого конуса через $$h$$.

Сечение отсекает от полного конуса меньший конус, подобный данному. Поэтому для соответствующих радиусов и высот имеем:

$$\frac{x}{x-h}=\frac{R}{r}.$$

Отсюда

$$x=\frac{hR}{R-r}.$$

Объём усечённого конуса:

$$V_2=\frac{1}{3}\pi h\left(R^2+Rr+r^2\right).$$

Объём полного конуса:

$$V_1=\frac{1}{3}\pi R^2x=\frac{1}{3}\pi R^2\cdot \frac{hR}{R-r}=\frac{1}{3}\pi h\cdot \frac{R^3}{R-r}.$$

Найдём отношение объёмов:

$$ \frac{V_2}{V_1} = \frac{\frac{1}{3}\pi h\left(R^2+Rr+r^2\right)}{\frac{1}{3}\pi h\cdot \frac{R^3}{R-r}} = \left(R^2+Rr+r^2\right)\frac{R-r}{R^3}. $$

Раскроем скобки:

$$ \left(R^2+Rr+r^2\right)(R-r)=R^3-r^3. $$

Тогда

$$ \frac{V_2}{V_1}=\frac{R^3-r^3}{R^3}=1-\left(\frac{r}{R}\right)^3. $$