Упр.20 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- 7-20. Деревянная плита в форме правильного восьмиугольника со стороной $$3{,}2\ \text{см}$$ и толщиной $$0{,}7\ \text{см}$$ имеет массу $$17{,}3\ \text{г}$$. Найдите плотность дерева.
Плита имеет форму правильной восьмиугольной призмы.
Обозначим через $$O$$ центр основания, а через $$AB$$ — сторону восьмиугольника. Опустим перпендикуляр $$OH$$ на сторону $$AB$$. Тогда в равнобедренном треугольнике $$AOB$$ точка $$H$$ — середина стороны $$AB$$, поэтому
$$HB=\frac{AB}{2}=\frac{3{,}2}{2}=1{,}6\text{ см}.$$
Угол при центре правильного восьмиугольника равен
$$\angle BOH=\frac{360^\circ}{8}\cdot\frac12=22^\circ30′.$$
В прямоугольном треугольнике $$BOH$$
$$\tg \angle BOH=\frac{HB}{OH},$$
откуда
$$OH=\frac{HB}{\tg 22^\circ30′}=\frac{1{,}6}{\tg 22^\circ30′}.$$
Площадь основания восьмиугольника:
$$S=8\cdot S_{AOB}=8\cdot \frac12\cdot AB\cdot OH=4\cdot AB\cdot OH.$$
Тогда объём плиты
$$V=S\cdot h=4\cdot AB\cdot OH\cdot 0{,}7.$$
Подставим значения:
$$V=4\cdot 3{,}2\cdot \frac{1{,}6}{\tg 22^\circ30′}\cdot 0{,}7\approx 34{,}6\text{ см}^3.$$
Плотность равна
$$\rho=\frac{m}{V}=\frac{17{,}3}{34{,}6}=0{,}5\text{ г/см}^3.$$
Ответ: $$0{,}5\text{ г/см}^3$$.
