Упр.20 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Радиусы оснований усеченного конуса R и г, образующая наклонена к основанию под углом 45°. Найдите высоту.

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Получим равнобедренную трапецию $$ABCD$$, где $$BC \parallel AD$$, а $$AB=CD$$ как образующие.

Пусть $$O$$ и $$O_1$$ — середины оснований $$AD$$ и $$BC$$ соответственно. Тогда $$OO_1 \perp AD$$, $$AO=R$$, $$O_1B=r$$.

Опустим из точки $$B$$ перпендикуляр $$BM$$ на $$AD$$. Тогда $$BM=h$$ — высота усечённого конуса. Так как $$B O_1 M O$$ — прямоугольник, то

$$MO=O_1B=r,$$

следовательно,

$$AM=AO-MO=R-r.$$

По условию образующая наклонена к основанию под углом $$45^\circ$$, значит $$\angle BAM=45^\circ$$. В прямоугольном треугольнике $$ABM$$ острые углы равны, поэтому он равнобедренный, и

$$BM=AM.$$

Тогда

$$h=BM=R-r.$$

Ответ

$$R-r$$