Упр.20 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Радиусы оснований усечённого конуса $$R$$ и $$r$$, образующая наклонена к основанию под углом $$45^\circ$$. Найдите высоту.

Подробный ответ

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Получим равнобедренную трапецию, у которой основания равны $$2R$$ и $$2r$$, а боковые стороны — образующие.

Опустим из верхнего основания перпендикуляр на нижнее. Тогда высота усечённого конуса равна высоте этой трапеции, обозначим её через $$h$$.

Пусть $$M$$ — основание перпендикуляра из точки $$B$$ на основание трапеции. Тогда $$BM=h$$, а отрезок $$AM$$ равен разности радиусов оснований:

$$AM=R-r.$$

По условию образующая наклонена к основанию под углом $$45^\circ$$, значит

$$\angle BAM=45^\circ.$$

Треугольник $$BAM$$ прямоугольный, и если один из его острых углов равен $$45^\circ$$, то он равнобедренный. Следовательно,

$$BM=AM.$$

Тогда

$$h=BM=AM=R-r.$$

Ответ: $$R-r$$.