Упр.20 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

В равнобедренном треугольнике основание и высота равны 4 м. Данная точка находится на расстоянии 6 м от плоскости треугольника и на равном расстоянии от его вершин. Найдите это расстояние.

Обозначим через $$O$$ основание перпендикуляра, опущенного из точки $$S$$ на плоскость треугольника. Тогда $$SO=6$$ м, а так как точка $$S$$ равноудалена от вершин треугольника, то $$OA=OB=OC$$, то есть $$O$$ — центр описанной окружности треугольника $$ABC$$.

Найдём радиус этой окружности. В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ основание и высота равны $$4$$ м, значит высота, проведённая к основанию, делит его пополам. Тогда боковая сторона:

$$AB=AC=\sqrt{AH^2+\left(\frac{BC}{2}\right)^2} =\sqrt{4^2+\left(\frac{4}{2}\right)^2} =\sqrt{16+4} =\sqrt{20}.$$

Для равнобедренного треугольника радиус описанной окружности равен

$$R=OA=\frac{AB^2}{\sqrt{4AB^2-BC^2}} =\frac{20}{\sqrt{4\cdot 20-16}} =\frac{20}{\sqrt{64}} =\frac{20}{8} =2{,}5\text{ м}.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOS$$:

$$SA=\sqrt{SO^2+OA^2} =\sqrt{6^2+2{,}5^2} =\sqrt{36+6{,}25} =\sqrt{42{,}25} =6{,}5\text{ м}.$$

Так как $$SA=SB=SC$$, искомое расстояние равно $$6{,}5$$ м.

Ответ: $$6{,}5\text{ м}$$.