Упр.2 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- У трёхгранного угла $$abc$$ двугранный угол при ребре $$c$$ — прямой, двугранный угол при ребре $$b$$ равен $$\varphi$$, а плоский угол $$\angle(bc)$$ равен $$\gamma$$ ($$\varphi,\gamma<\frac{\pi}{2}$$). Найдите другие плоские углы: $$\alpha=\angle(ab)$$, $$\beta=\angle(ac)$$.
Пусть из произвольной точки $$A$$ ребра $$a$$ опущены перпендикуляры $$AB \perp b$$ и $$AC \perp c$$.
Тогда по теореме о трёх перпендикулярах $$CB \perp b$$.
Рассмотрим прямоугольные треугольники $$OAB$$, $$OCB$$ и $$OAC$$, где $$O$$ — вершина трёхгранного угла.
Из треугольника $$OCB$$ имеем
$$\tg \gamma=\frac{BC}{OB}, \qquad OB=\frac{BC}{\tg \gamma}.$$
Из треугольника $$OAB$$ получаем
$$\tg \alpha=\frac{AB}{OB}.$$
Так как $$AB=BC$$, то
$$\tg \alpha=\frac{BC}{BC/\tg \gamma}=\frac{\tg \gamma}{\cos \varphi}.$$
Из треугольника $$OAC$$:
$$\tg \beta=\frac{AC}{OC}.$$
Но в треугольнике $$OCB$$
$$\sin \gamma=\frac{BC}{OC}, \qquad OC=\frac{BC}{\sin \gamma}.$$
Кроме того, $$AC=BC \cdot \tg \varphi$$, поэтому
$$\tg \beta=\frac{BC \cdot \tg \varphi}{BC/\sin \gamma}=\tg \varphi \cdot \sin \gamma.$$
Следовательно,
$$\tg \alpha=\frac{\tg \gamma}{\cos \varphi}, \qquad \tg \beta=\tg \varphi \cdot \sin \gamma.$$
Ответ: $$\tg \alpha=\dfrac{\tg \gamma}{\cos \varphi}, \quad \tg \beta=\tg \varphi \cdot \sin \gamma.$$
