Упр.2 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: 2. Даны две стороны и угол между ними. Найдите остальные два угла и третью сторону, если: 1) b = 14, с = 10, а = 145°; 2) а = 32, с = 23, B = 152°; 3) а = 24, с = 18, B = 15°.

Используем теорему косинусов для нахождения третьей стороны и теорему синусов для вычисления остальных углов.

1) $$b=14,\ c=10,\ \alpha=145^\circ.$$

По теореме косинусов:

$$ a=\sqrt{b^2+c^2-2bc\cos\alpha} =\sqrt{14^2+10^2-2\cdot 14\cdot 10\cdot \cos145^\circ} $$
$$ =\sqrt{525{,}36}\approx 22{,}9. $$

По теореме синусов:

$$ \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}, $$
откуда
$$ \sin\beta=\frac{b\sin\alpha}{a},\qquad \sin\gamma=\frac{c\sin\alpha}{a}. $$

$$ \sin\beta=\frac{14\cdot \sin145^\circ}{22{,}9}\approx \frac{14\cdot 0{,}573}{22{,}9}\approx 0{,}3503, $$
значит $$\beta\approx 21^\circ.$$

$$ \sin\gamma=\frac{10\cdot \sin145^\circ}{22{,}9}\approx \frac{10\cdot 0{,}573}{22{,}9}\approx 0{,}2502, $$
значит $$\gamma\approx 15^\circ.$$

2) $$a=32,\ c=23,\ \beta=152^\circ.$$

По теореме косинусов:

$$ b=\sqrt{a^2+c^2-2ac\cos\beta} =\sqrt{32^2+23^2-2\cdot 32\cdot 23\cdot \cos152^\circ} $$
$$ =\sqrt{2852{,}69}\approx 53{,}4. $$

По теореме синусов:

$$ \sin\alpha=\frac{a\sin\beta}{b},\qquad \sin\gamma=\frac{c\sin\beta}{b}. $$

$$ \sin\alpha=\frac{32\cdot \sin152^\circ}{53{,}4}\approx \frac{32\cdot 0{,}469}{53{,}4}\approx 0{,}281, $$
значит $$\alpha\approx 16^\circ.$$

$$ \sin\gamma=\frac{23\cdot \sin152^\circ}{53{,}4}\approx \frac{23\cdot 0{,}469}{53{,}4}\approx 0{,}202, $$
значит $$\gamma\approx 12^\circ.$$

3) $$a=24,\ c=18,\ \beta=15^\circ.$$

По теореме косинусов:

$$ b=\sqrt{a^2+c^2-2ac\cos\beta} =\sqrt{24^2+18^2-2\cdot 24\cdot 18\cdot \cos15^\circ} $$
$$ =\sqrt{65{,}44}\approx 8{,}09. $$

По теореме синусов:

$$ \sin\gamma=\frac{c\sin\beta}{b} =\frac{18\cdot \sin15^\circ}{8{,}09} \approx \frac{18\cdot 0{,}258}{8{,}09}\approx 0{,}574, $$
значит $$\gamma\approx 35^\circ.$$

Тогда

$$ \alpha=180^\circ-\beta-\gamma=180^\circ-15^\circ-35^\circ\approx 130^\circ. $$

Ответ

1) $$a\approx 22{,}9,\ \beta\approx 21^\circ,\ \gamma\approx 15^\circ.$$
2) $$b\approx 53{,}4,\ \alpha\approx 16^\circ,\ \gamma\approx 12^\circ.$$
3) $$b\approx 8{,}09,\ \alpha\approx 130^\circ,\ \gamma\approx 35^\circ.$$