Упр.2 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Даны две стороны и угол между ними. Найдите остальные два угла и третью сторону, если:
1) $$b=14$$, $$c=10$$, $$A=145^\circ$$;
2) $$a=32$$, $$c=23$$, $$B=152^\circ$$;
3) $$a=24$$, $$c=18$$, $$B=15^\circ$$.
1) По теореме косинусов:
$$a=\sqrt{b^2+c^2-2bc\cos\alpha}=\sqrt{14^2+10^2-2\cdot14\cdot10\cos145^\circ}=\sqrt{525{,}36}\approx22{,}9.$$
По теореме синусов:
$$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma},$$
откуда
$$\sin\beta=\frac{b\sin\alpha}{a}=\frac{14\sin145^\circ}{22{,}9}\approx0{,}3503,$$
значит, $$\beta\approx21^\circ.$$
Аналогично
$$\sin\gamma=\frac{c\sin\alpha}{a}=\frac{10\sin145^\circ}{22{,}9}\approx0{,}2502,$$
следовательно, $$\gamma\approx15^\circ.$$
2) По теореме косинусов:
$$b=\sqrt{a^2+c^2-2ac\cos\beta}=\sqrt{32^2+23^2-2\cdot32\cdot23\cos152^\circ}=\sqrt{2852{,}69}\approx53{,}4.$$
По теореме синусов:
$$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma},$$
откуда
$$\sin\alpha=\frac{a\sin\beta}{b}=\frac{32\sin152^\circ}{53{,}4}\approx0{,}281,$$
значит, $$\alpha\approx16^\circ.$$
И
$$\sin\gamma=\frac{c\sin\beta}{b}=\frac{23\sin152^\circ}{53{,}4}\approx0{,}202,$$
следовательно, $$\gamma\approx12^\circ.$$
3) По теореме косинусов:
$$b=\sqrt{a^2+c^2-2ac\cos\beta}=\sqrt{24^2+18^2-2\cdot24\cdot18\cos15^\circ}=\sqrt{65{,}44}\approx8{,}09.$$
По теореме синусов:
$$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma},$$
откуда
$$\sin\gamma=\frac{c\sin\beta}{b}=\frac{18\sin15^\circ}{8{,}09}\approx0{,}574,$$
значит, $$\gamma\approx35^\circ.$$
Тогда
$$\alpha=180^\circ-\beta-\gamma=180^\circ-15^\circ-35^\circ\approx130^\circ.$$
Ответ: 1) $$a\approx22{,}9,\ \beta\approx21^\circ,\ \gamma\approx15^\circ$$; 2) $$b\approx53{,}4,\ \alpha\approx16^\circ,\ \gamma\approx12^\circ$$; 3) $$b\approx8{,}09,\ \alpha\approx130^\circ,\ \gamma\approx35^\circ$$.
