Упр.19 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: 19. Докажите с помощью теоремы Чевы, что высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке.

Подробный ответ

Пусть $$AA’$$, $$BB’$$ и $$CC’$$ — высоты треугольника $$ABC$$.

Рассмотрим треугольники $$ABA’$$ и $$BCC’$$. У них $$\angle A’ = \angle C’ = 90^\circ$$, а $$\angle B$$ — общий, значит, эти треугольники подобны. Тогда

$$\frac{A’B}{BC’}=\frac{AB}{BC}.$$

Аналогично, из подобия треугольников $$BCB’$$ и $$AAC’$$ получаем

$$\frac{B’C}{A’C}=\frac{BC}{AC}.$$

И из подобия треугольников $$ACC’$$ и $$ABB’$$ имеем

$$\frac{AC’}{AB’}=\frac{AC}{AB}.$$

Перемножим полученные равенства:

$$\frac{A’B}{BC’}\cdot \frac{B’C}{A’C}\cdot \frac{AC’}{AB’}=\frac{AB}{BC}\cdot \frac{BC}{AC}\cdot \frac{AC}{AB}=1.$$

Следовательно,

$$\frac{A’B\cdot B’C\cdot AC’}{AB’\cdot CB’\cdot C’A}=1.$$

По теореме Чевы отсюда следует, что прямые $$AA’$$, $$BB’$$ и $$CC’$$ пересекаются в одной точке.