Упр.19 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Докажите с помощью теоремы Чевы, что высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке.

Пусть $$AA’$$, $$BB’$$ и $$CC’$$ — высоты треугольника $$ABC$$.

Тогда треугольники $$ABA’$$ и $$BC’C$$ подобны: $$\angle B$$ — общий, $$\angle A’ = \angle C’ = 90^\circ$$. Поэтому

$$\frac{A’B}{BC’}=\frac{AB}{BC}.$$

Аналогично, из подобия треугольников $$BCB’$$ и $$CAA’$$ получаем

$$\frac{B’C}{A’C}=\frac{BC}{AC}.$$

И из подобия треугольников $$ACC’$$ и $$ABB’$$ имеем

$$\frac{AC’}{AB’}=\frac{AC}{AB}.$$

Перемножим эти равенства:

$$\frac{A’B}{BC’}\cdot \frac{B’C}{A’C}\cdot \frac{AC’}{AB’} = \frac{AB}{BC}\cdot \frac{BC}{AC}\cdot \frac{AC}{AB} =1.$$

Следовательно,

$$\frac{A’B}{BA’}\cdot \frac{B’C}{CB’}\cdot \frac{AC’}{CA’}=1.$$

По теореме Чевы прямые $$AA’$$, $$BB’$$ и $$CC’$$ пересекаются в одной точке. Значит, высоты треугольника пересекаются в одной точке.