Упр.19 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. По стороне основания $$a$$ и боковому ребру $$b$$ найдите объём правильной призмы: 1) треугольной; 2) четырёхугольной; 3) шестиугольной.

Объём призмы равен произведению площади основания на высоту:

$$V=S_{\text{осн}}\cdot h.$$

У правильной призмы боковое ребро равно высоте, значит $$h=b.$$

Основание правильной призмы — правильный многоугольник со стороной $$a$$. Его площадь равна

$$S_{\text{осн}}=\frac{n a^2}{4\tg\left(\frac{180^\circ}{n}\right)},$$

где $$n$$ — число сторон основания.

1. Для треугольной призмы $$n=3$$:

   $$S_{\text{осн}}=\frac{3a^2}{4\tg 60^\circ}=\frac{3a^2}{4\sqrt{3}/3}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.$$

   Тогда

   $$V=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot b=\frac{ba^2\sqrt{3}}{4}.$$

2. Для четырёхугольной призмы $$n=4$$:

   $$S_{\text{осн}}=a^2,$$

   поэтому

   $$V=a^2\cdot b=ba^2.$$

3. Для шестиугольной призмы $$n=6$$:

   $$S_{\text{осн}}=\frac{6a^2}{4\tg 30^\circ}=\frac{6a^2}{4\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}}=\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}.$$

   Тогда

   $$V=\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}\cdot b=\frac{3ba^2\sqrt{3}}{2}.$$

Ответ: 1) $$\frac{ba^2\sqrt{3}}{4}$$; 2) $$ba^2$$; 3) $$\frac{3ba^2\sqrt{3}}{2}$$.