Упр.19 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Сторона основания правильной четырехугольной призмы равна 15, высота равна 20. Найдите кратчайшее расстояние от стороны основания до не пересекающей ее диагонали призмы (рис. 119).

Проведём плоскость $$A_1BCD$$ и плоскость $$ABMN$$, перпендикулярную ей.

Так как $$NA \perp AB$$ и $$MB \perp AB$$ по теореме о трёх перпендикулярах, а также $$AN=BM$$, то четырёхугольник $$ABMN$$ — прямоугольник.

Обозначим через $$O$$ точку пересечения $$NM$$ и $$A_1C$$. Проведём $$OK \perp AB$$. Тогда $$OK=BM$$, а значит, $$OK$$ — искомое кратчайшее расстояние.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BB_1C$$:

$$ B_1C=\sqrt{BB_1^2+BC^2}=\sqrt{20^2+15^2}=25 $$

Найдём площадь треугольника $$BB_1C$$ по формуле Герона:

$$ S_{BB_1C}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{30\cdot 15\cdot 10\cdot 5}=150 $$

С другой стороны,

$$ S_{BB_1C}=\frac{1}{2}B_1C\cdot BM $$

Тогда

$$ BM=\frac{2S_{BB_1C}}{B_1C}=\frac{2\cdot 150}{25}=12 $$

Следовательно, $$OK=12$$.

Ответ

$$12$$