Упр.19 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Докажите, что преобразование симметрии относительно точки есть движение.

Пусть точки $$A’$$ и $$B’$$ симметричны точкам $$A$$ и $$B$$ относительно точки $$M$$.

Тогда по определению центральной симметрии

$$AM=A’M,\qquad BM=B’M.$$

Кроме того, углы $$\angle AMB$$ и $$\angle A’MB’$$ — вертикальные, значит,

$$\angle AMB=\angle A’MB’.$$

Следовательно, треугольники $$\triangle AMB$$ и $$\triangle A’MB’$$ равны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда

$$AB=A’B’.$$

Значит, при симметрии относительно точки расстояние между любыми двумя точками сохраняется. Следовательно, это преобразование является движением.

Ответ

Преобразование симметрии относительно точки есть движение.