Упр.19 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Стороны равностороннего треугольника равны $$3\ \text{м}$$. Найдите расстояние до плоскости треугольника от точки, которая находится на расстоянии $$2\ \text{м}$$ от каждой из его вершин.

Пусть $$O$$ — центр описанной окружности равностороннего треугольника $$ABC$$. Тогда точка $$O$$ равноудалена от всех вершин треугольника, а значит

$$OA=OB=OC=R.$$

Для равностороннего треугольника со стороной $$AB=3$$ м радиус описанной окружности равен

$$R=\frac{AB}{\sqrt{3}}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\text{ м}.$$

Так как $$SO\perp ABC$$, то треугольник $$SAO$$ прямоугольный. По теореме Пифагора:

$$SO=\sqrt{SA^2-OA^2}=\sqrt{2^2-(\sqrt{3})^2}=\sqrt{4-3}=1\text{ м}.$$

Ответ: $$1$$ м.