Упр.19 Раздел 2 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Дано: Две скрещивающиеся прямые a и b;
Доказать: Через данные прямые можно провести параллельные
плоскости;
Доказательство:
1) Отметим произвольную точку на прямой a, и построим через эту
точку прямую c, параллельную прямой b (она существует по теореме 2.1);
2) Аналогично построим прямую d, пересекающую прямую b;
3) Таким образом пересекающиеся прямые b и d попарно параллельны
пересекающимся прямым c и a, значит по теореме 2.4 параллельны
и плоскости, в которых они лежат, что и требоваось доказать.

Подробный ответ

Пусть прямые $$a$$ и $$b$$ — скрещивающиеся. Возьмём на прямой $$a$$ произвольную точку и проведём через неё прямую $$c$$, параллельную прямой $$b$$. Такая прямая существует.

Затем через прямую $$b$$ проведём прямую $$d$$, пересекающую прямую $$a$$ и параллельную прямой $$c$$.

Тогда прямые $$a$$ и $$c$$ пересекаются, а прямые $$b$$ и $$d$$ тоже пересекаются. При этом

$$a \parallel c,\qquad b \parallel d.$$

По теореме о параллельности плоскостей, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны. Следовательно, плоскости, в которых лежат прямые $$a, c$$ и $$b, d$$, параллельны.

Значит, через две скрещивающиеся прямые можно провести параллельные плоскости.