Упр.19 Раздел 2 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что через две скрещивающиеся прямые можно провести параллельные плоскости.

Подробный ответ

Возьмём на прямой $$a$$ произвольную точку и проведём через неё прямую $$c$$, параллельную прямой $$b$$. Такая прямая существует по теореме о проведении через точку прямой, параллельной данной.

Затем проведём прямую $$d$$, пересекающую прямую $$b$$ и лежащую в плоскости, содержащей прямую $$a$$ и прямую $$c$$.

Тогда прямые $$a$$ и $$c$$ пересекаются, а прямые $$b$$ и $$d$$ тоже пересекаются. При этом $$a \parallel d$$ и $$c \parallel b$$. Следовательно, две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

По признаку параллельности плоскостей получаем, что плоскости, в которых лежат прямые $$a$$ и $$c$$, а также $$b$$ и $$d$$, параллельны. Значит, через две скрещивающиеся прямые можно провести параллельные плоскости.