Упр.18 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Докажите с помощью теоремы Чевы, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Пусть $$AA’$$, $$BB’$$ и $$CC’$$ — биссектрисы треугольника $$ABC$$, где точки $$A’ \in BC$$, $$B’ \in AC$$, $$C’ \in AB$$.

По теореме о биссектрисе:

$$\frac{AB’}{B’C}=\frac{AB}{BC}, \qquad \frac{BC’}{C’A}=\frac{BC}{CA}, \qquad \frac{CA’}{A’B}=\frac{CA}{AB}.$$

Перемножим эти равенства:

$$\frac{AB’}{B’C}\cdot \frac{BC’}{C’A}\cdot \frac{CA’}{A’B}=\frac{AB}{BC}\cdot \frac{BC}{CA}\cdot \frac{CA}{AB}=1.$$

Следовательно, по теореме Чевы прямые $$AA’$$, $$BB’$$ и $$CC’$$ пересекаются в одной точке.

Значит, биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, что и требовалось доказать.