Упр.18 Раздел 8 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Площадь осевого сечения усечённого конуса равна разности площадей оснований, а радиусы оснований — $$R$$ и $$r$$. Найдите объём этого конуса.

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Это равнобедренная трапеция, у которой основания равны $$2R$$ и $$2r$$, а высота равна $$h$$.

По условию площадь осевого сечения равна разности площадей оснований:

$$\pi(R^2-r^2)=\frac{2R+2r}{2}\cdot h=(R+r)h.$$

Отсюда

$$h=\frac{\pi(R^2-r^2)}{R+r}=\pi(R-r).$$

Теперь найдём объём усечённого конуса по формуле

$$V=\frac13\pi h\left(R^2+Rr+r^2\right).$$

Подставим найденное значение $$h$$:

$$V=\frac13\pi\cdot \pi(R-r)\left(R^2+Rr+r^2\right) =\frac13\pi^2\left(R^3-r^3\right).$$

Ответ

$$\frac13\pi^2\left(R^3-r^3\right).$$