Упр.18 Раздел 8 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Площадь осевого сечения усеченного конуса равна разности площадей оснований, а радиусы оснований R и r. Найдите объем этого конуса.

Осевое сечение усечённого конуса — равнобедренная трапеция, у которой основания равны $$2R$$ и $$2r$$, а высота равна $$h$$.

По условию площадь этого сечения равна разности площадей оснований усечённого конуса:

$$S=\pi R^2-\pi r^2=\pi(R^2-r^2).$$

С другой стороны, площадь трапеции:

$$S=\frac{2R+2r}{2}\cdot h=(R+r)h.$$

Следовательно,

$$\pi(R^2-r^2)=(R+r)h,$$

откуда

$$h=\frac{\pi(R^2-r^2)}{R+r}=\pi(R-r).$$

Теперь найдём объём усечённого конуса по формуле:

$$V=\frac{1}{3}\pi h\left(R^2+Rr+r^2\right).$$

Подставим найденное значение $$h$$:

$$ V=\frac{1}{3}\pi \cdot \frac{\pi(R^2-r^2)}{R+r}\left(R^2+Rr+r^2\right). $$

Так как $$R^2-r^2=(R-r)(R+r),$$ получаем

$$ V=\frac{1}{3}\pi^2(R-r)\left(R^2+Rr+r^2\right) =\frac{1}{3}\pi^2(R^3-r^3). $$

Ответ

$$\frac{1}{3}\pi^2\left(R^3-r^3\right).$$