Упр.18 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В параллелепипеде длины трех ребер, исходящих из одной вершины, равны $$a$$, $$b$$, $$c$$. Ребра $$a$$ и $$b$$ взаимно перпендикулярны, а ребро $$c$$ образует с каждым из них угол $$\alpha$$ (рис. 175). Найдите объем параллелепипеда.

Обозначим через $$A_1$$ вершину параллелепипеда, из которой выходят рёбра $$AA_1= c$$, $$AB= b$$, $$AD= a$$. Опустим перпендикуляр $$A_1O$$ на плоскость основания. Тогда $$A_1M \perp AD$$ и $$A_1K \perp AB$$, а по теореме о трёх перпендикулярах получаем:

$$OM \perp AD,\qquad OK \perp AB.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle AA_1M$$ и $$\triangle AA_1K$$. У них общая гипотенуза $$AA_1=c$$, а углы при вершине $$A$$ равны $$\alpha$$, значит

$$AM=AK=AA_1\cos\alpha=c\cos\alpha.$$

В треугольнике $$\triangle AMO$$ имеем $$AM=AK$$, поэтому он равнобедренный, а так как $$AO$$ — общая сторона, то

$$\angle MAO=\angle KAO=45^\circ.$$

Тогда

$$AO=\frac{AM}{\cos 45^\circ}=\frac{c\cos\alpha}{\frac{\sqrt2}{2}}=c\sqrt2\cos\alpha.$$

Теперь в прямоугольном треугольнике $$\triangle AA_1O$$ найдём высоту параллелепипеда:

$$A_1O=\sqrt{AA_1^2-AO^2} =\sqrt{c^2-2c^2\cos^2\alpha} =c\sqrt{1-2\cos^2\alpha} =c\sqrt{-\cos 2\alpha}.$$

Площадь основания параллелепипеда равна

$$S=AB\cdot AD=ab.$$

Следовательно, объём равен

$$V=S\cdot A_1O=ab\cdot c\sqrt{-\cos 2\alpha}.$$

Ответ: $$abc\sqrt{-\cos 2\alpha}.$$