Упр.18 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Образующая конуса $$13\ \text{см}$$, высота $$12\ \text{см}$$. Конус пересечен прямой, параллельной основанию; расстояние от нее до основания равно $$6\ \text{см}$$, а до высоты — $$2\ \text{см}$$. Найдите отрезок прямой, заключенный внутри конуса (рис. 158).

Подробный ответ

Обозначим точки пересечения прямой с конусом через $$B$$ и $$D$$. Тогда искомый отрезок — это $$BD$$.

В прямоугольном треугольнике $$COA$$ имеем:

$$OA=\sqrt{CA^2-CO^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{169-144}=5\text{ см}.$$

Проведём через $$BD$$ плоскость, параллельную основанию конуса. Тогда отсечённый ею конус подобен данному. Высота малого конуса равна

$$CO_1=CO-O_1O=12-6=6\text{ см}.$$

Из подобия треугольников $$CO_1A_1$$ и $$COA$$ получаем:

$$\frac{O_1A_1}{OA}=\frac{CO_1}{CO},$$

откуда

$$O_1A_1=OA\cdot \frac{CO_1}{CO}=5\cdot \frac{6}{12}=2{,}5\text{ см}.$$

Опустим из центра $$O_1$$ перпендикуляр $$O_1M$$ на хорду $$BD$$. Тогда $$O_1M=2\text{ см}$$, а в прямоугольном треугольнике $$BO_1M$$:

$$BM=\sqrt{O_1B^2-O_1M^2}=\sqrt{2{,}5^2-2^2}=\sqrt{6{,}25-4}=1{,}5\text{ см}.$$