Упр.18 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Из точки $$S$$ вне плоскости $$\alpha$$ проведены к ней три равные наклонные $$SA$$, $$SB$$, $$SC$$ и перпендикуляр $$SO$$. Докажите, что основание перпендикуляра $$O$$ является центром окружности, описанной около треугольника $$ABC$$.

Так как $$SO \perp \alpha,$$ а точки $$A,$$ $$B,$$ $$C$$ лежат в плоскости $$\alpha,$$ то прямые $$OA,$$ $$OB$$ и $$OC$$ также перпендикулярны $$SO$$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle SOA,$$ $$\triangle SOB$$ и $$\triangle SOC.$$ У них:

• $$SO$$ — общий катет;
• $$SA=SB=SC$$ — по условию;
• прямые углы при вершине $$O$$.

Следовательно, $$\triangle SOA \cong \triangle SOB \cong \triangle SOC$$ по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету). Отсюда

$$OA=OB=OC.$$

Значит, точка $$O$$ равноудалена от всех вершин треугольника $$ABC$$, а следовательно, является центром окружности, описанной около треугольника $$ABC$$.