Упр.18 Раздел 2 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Докажите, что прямая, пересекающая одну из двух параллельных плоскостей, пересекает и другую.

Пусть прямая $$a$$ пересекает плоскость $$\alpha$$ в точке $$A$$. Проведём через точку $$A$$ произвольную прямую $$b$$, лежащую в плоскости $$\alpha$$.

Так как прямые $$a$$ и $$b$$ пересекаются, то они лежат в одной плоскости, обозначим её $$\gamma$$.

Плоскости $$\gamma$$ и $$\beta$$ пересекаются по некоторой прямой $$c$$. Поскольку плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ параллельны, то прямые $$b$$ и $$c$$, лежащие соответственно в этих плоскостях и принадлежащие одной плоскости $$\gamma$$, не пересекаются. Значит, $$b \parallel c$$.

Но прямая $$a$$ пересекает прямую $$b$$, следовательно, она не может быть параллельна прямой $$c$$. Тогда прямая $$a$$ пересекает прямую $$c$$, а значит, пересекает и плоскость $$\beta$$, в которой лежит $$c$$.

Итак, если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую.