Упр.18 Раздел 2 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Докажите, что прямая, пересекающая одну из двух параллельных плоскостей, пересекает и другую.

Подробный ответ

Пусть прямая $$a$$ пересекает плоскость $$\alpha$$ в точке $$A$$.

Через точку $$A$$ проведём произвольную прямую $$b$$, лежащую в плоскости $$\alpha$$. Тогда прямые $$a$$ и $$b$$ пересекаются, значит, они определяют некоторую плоскость $$\gamma$$.

Плоскости $$\gamma$$ и $$\beta$$ пересекаются по некоторой прямой $$c$$. Так как плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ параллельны, то прямая $$b$$, лежащая в плоскости $$\alpha$$, не может пересекать плоскость $$\beta$$. Следовательно, прямые $$b$$ и $$c$$ не пересекаются, а значит, они параллельны:

$$b \parallel c$$.

Но прямая $$a$$ пересекает прямую $$b$$. Если бы она не пересекала прямую $$c$$, то в плоскости $$\gamma$$ она была бы параллельна $$c$$, а значит, и $$b$$, что невозможно, так как $$a$$ уже пересекает $$b$$. Следовательно, прямая $$a$$ пересекает прямую $$c$$.

Поскольку $$c \subset \beta$$, то прямая $$a$$ пересекает плоскость $$\beta$$.

Итак, если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую.