Упр.17 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Докажите с помощью теоремы Чевы, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Пусть $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ — медианы треугольника $$ABC$$, тогда точки $$A_1$$, $$B_1$$ и $$C_1$$ — середины сторон $$BC$$, $$AC$$ и $$AB$$ соответственно.

По свойству середины отрезка имеем:

$$\frac{BA_1}{A_1C} = 1,\qquad \frac{CB_1}{B_1A} = 1,\qquad \frac{AC_1}{C_1B} = 1.$$

Перемножим эти равенства:

$$\frac{BA_1}{A_1C}\cdot \frac{CB_1}{B_1A}\cdot \frac{AC_1}{C_1B}=1.$$

Следовательно, по теореме Чевы прямые $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ пересекаются в одной точке.

Ответ: медианы треугольника пересекаются в одной точке.