Упр.17 Раздел 8 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Радиусы оснований усеченного конуса R и r, образующая наклонена к плоскости основания под углом 45°. Найдите объем.

Подробный ответ

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Оно представляет собой равнобедренную трапецию, у которой основания равны $$2R$$ и $$2r$$, а высота трапеции равна высоте усечённого конуса.

Проведём высоту $$AH \perp DC$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$DAH$$ угол между образующей и плоскостью основания равен $$45^\circ$$, значит $$\angle ADH=45^\circ$$.

Следовательно, треугольник $$DAH$$ — равнобедренный прямоугольный, поэтому

$$AH=DH.$$

Но $$DH=DO_1-HO_1=R-r$$, значит

$$h=AH=R-r.$$

Теперь найдём объём усечённого конуса по формуле

$$V=\frac{1}{3}\pi h\left(R^2+Rr+r^2\right).$$

Подставим $$h=R-r$$:

$$ V=\frac{1}{3}\pi (R-r)\left(R^2+Rr+r^2\right) $$

Раскроем скобки:

$$ (R-r)\left(R^2+Rr+r^2\right)=R^3-r^3. $$

Тогда

$$V=\frac{1}{3}\pi\left(R^3-r^3\right).$$