Упр.17 Раздел 8 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

17. Радиусы оснований усечённого конуса $$R$$ и $$r$$, образующая наклонена к плоскости основания под углом $$45^\circ$$. Найдите объём.

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Оно представляет собой равнобедренную трапецию, у которой основания равны $$2R$$ и $$2r$$, а боковая сторона — образующая.

Пусть $$AH$$ — высота трапеции, тогда $$AH$$ равна высоте усечённого конуса. Из условия образующая наклонена к плоскости основания под углом $$45^\circ$$, значит в прямоугольном треугольнике с катетами $$AH$$ и $$R-r$$ имеем

$$\angle =45^\circ \Rightarrow AH=R-r.$$

Объём усечённого конуса вычисляется по формуле

$$V=\frac{1}{3}\pi h\left(R^2+Rr+r^2\right),$$

где $$h=AH=R-r$$. Тогда

$$V=\frac{1}{3}\pi (R-r)\left(R^2+Rr+r^2\right) =\frac{1}{3}\pi \left(R^3-r^3\right).$$

Ответ: $$\frac{1}{3}\pi\left(R^3-r^3\right).$$