Упр.17 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Каждое ребро параллелепипеда равно $$1\ \text{см}$$. У одной из вершин параллелепипеда все три плоских угла острые, по $$2a$$ каждый. Найдите объем параллелепипеда.
Обозначим вершину параллелепипеда, у которой все три плоских угла равны $$2\alpha$$, через $$A_1$$, а ребра, выходящие из нее, — $$A_1A$$, $$A_1B_1$$ и $$A_1D_1$$. Опустим перпендикуляр $$A_1O$$ на плоскость основания. Из точек $$A_1$$ проведем перпендикуляры $$A_1M \perp AD$$ и $$A_1K \perp AB$$. Тогда по теореме о трех перпендикулярах $$OM \perp AD$$ и $$OK \perp AB$$.
Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle AA_1M$$ и $$\triangle AA_1K$$. У них общая гипотенуза $$AA_1=1$$ и $$\angle A_1AM=\angle A_1AK=2\alpha$$, значит
$$AM=AK=AA_1\cos 2\alpha=\cos 2\alpha.$$
В прямоугольном треугольнике $$\triangle AMO$$ имеем $$AO$$ — общий катет, поэтому
$$\angle KAO=\angle MAO=\alpha,$$
и тогда
$$AO=\frac{AK}{\cos \angle KAO}=\frac{\cos 2\alpha}{\cos \alpha}.$$
Теперь в прямоугольном треугольнике $$\triangle AA_1O$$ найдем высоту параллелепипеда:
$$A_1O=\sqrt{AA_1^2-AO^2} =\sqrt{1-\frac{\cos^2 2\alpha}{\cos^2 \alpha}} =\sqrt{\frac{\cos^2 \alpha-\cos^2 2\alpha}{\cos^2 \alpha}}.$$
Преобразуем выражение под корнем:
$$\cos^2 \alpha-\cos^2 2\alpha =(\cos \alpha-\cos 2\alpha)(\cos \alpha+\cos 2\alpha) =\sin \alpha\sin 3\alpha,$$
поэтому
$$A_1O=\frac{\sqrt{\sin \alpha\sin 3\alpha}}{\cos \alpha}.$$
Площадь основания параллелепипеда равна
$$S=AB\cdot AD\cdot \sin 2\alpha=1\cdot 1\cdot \sin 2\alpha=\sin 2\alpha.$$
Тогда объем:
$$V=S\cdot A_1O =\sin 2\alpha\cdot \frac{\sqrt{\sin \alpha\sin 3\alpha}}{\cos \alpha} =2\sin \alpha\sqrt{\sin \alpha\sin 3\alpha}.$$
Ответ: $$2\sin \alpha\sqrt{\sin \alpha\sin 3\alpha}.$$
