Упр.17 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Через середину высоты конуса проведена прямая, параллельная образующей $$l$$. Найдите длину отрезка прямой, заключённого внутри конуса.

Пусть данная прямая пересекает конус в точках $$M$$ и $$N$$. Тогда искомый отрезок — это $$MN$$.

Рассмотрим осевое сечение конуса $$ABC$$, проходящее через отрезок $$MN$$. Обозначим через $$O$$ центр основания, а через $$O_1$$ — середину высоты конуса. Так как прямая проведена через середину высоты и параллельна образующей $$CB$$, то в треугольнике $$OCB$$ отрезок $$O_1N$$ является средней линией. Следовательно,

$$O_1N=\frac{1}{2}CB=\frac{1}{2}R,$$

где $$R$$ — радиус основания конуса.

Тогда

$$NA=OA+ON=R+\frac{1}{2}R=\frac{3}{2}R.$$

Треугольники $$AMN$$ и $$ACB$$ подобны, так как $$\angle AMN=\angle ACB$$ и $$\angle A$$ — общий. Поэтому

$$\frac{MN}{CB}=\frac{AN}{AB}.$$

Подставим известные отношения:

$$CB=l,\qquad AB=2R,\qquad AN=\frac{3}{2}R.$$

Тогда

$$MN=\frac{AN\cdot CB}{AB}=\frac{\frac{3}{2}R\cdot l}{2R}=\frac{3}{4}l.$$

Ответ

$$\frac{3}{4}l$$