Упр.17 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Точка A находится на расстоянии а от вершин равностороннего треугольника со стороной а. Найдите расстояние от точки A до плоскости треугольника.

Пусть $$AH \perp (BDC)$$, где $$H$$ — основание перпендикуляра. Тогда $$BH$$, $$CH$$ и $$DH$$ — проекции наклонных $$AB$$, $$AC$$ и $$AD$$ на плоскость $$BDC$$.

Так как $$AB=AC=AD=a$$, то точки $$B$$, $$C$$ и $$D$$ равноудалены от точки $$H$$. Значит, $$H$$ — центр описанной окружности треугольника $$BDC$$. Но $$\triangle BDC$$ равносторонний, поэтому этот центр совпадает с точкой пересечения его медиан, высот и биссектрис.

Опустим высоту $$DD_1$$ треугольника $$BDC$$. Тогда $$D_1$$ — середина стороны $$BC$$, а

$$ BD_1=\frac{a}{2} $$

По теореме Пифагора:

$$ DD_1=\sqrt{BD^2-BD_1^2} =\sqrt{a^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2} =\sqrt{\frac{3}{4}a^2} =\frac{a\sqrt{3}}{2} $$

В равностороннем треугольнике центр делит высоту в отношении $$2:1$$, считая от вершины, значит

$$ DH=\frac{2}{3}DD_1=\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a}{\sqrt{3}} $$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$ADH$$:

$$ AH=\sqrt{AD^2-DH^2} =\sqrt{a^2-\left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2} =\sqrt{a^2-\frac{a^2}{3}} =\sqrt{\frac{2a^2}{3}} =a\sqrt{\frac{2}{3}} $$

Итак, расстояние от точки $$A$$ до плоскости $$BDC$$ равно $$AH$$.

Ответ

$$a\sqrt{\frac{2}{3}}$$