Упр.17 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Точка A находится на расстоянии $$a$$ от вершин равностороннего треугольника со стороной $$a$$. Найдите расстояние от точки A до плоскости треугольника.
Пусть $$H$$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $$A$$ на плоскость $$BDC$$. Тогда $$AH$$ — искомое расстояние.
Так как $$AB=AC=AD=a$$, то точка $$H$$ равноудалена от вершин треугольника $$BDC$$. Значит, $$H$$ — центр описанной окружности треугольника $$BDC$$. Но $$\triangle BDC$$ равносторонний, поэтому его центр описанной окружности совпадает с центром тяжести, а также с основанием высоты.
Пусть $$D_1$$ — основание высоты треугольника $$BDC$$. Тогда
$$BD_1=\frac{a}{2}$$
Из прямоугольного треугольника $$BDD_1$$ получаем:
$$DD_1=\sqrt{BD^2-BD_1^2} =\sqrt{a^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2} =\sqrt{\frac{3}{4}a^2} =\frac{\sqrt{3}}{2}a$$
Для равностороннего треугольника расстояние от центра до вершины равно $$\frac{2}{3}$$ высоты, значит
$$DH=\frac{2}{3}DD_1=\frac{2}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{a}{\sqrt{3}}$$
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$ADH$$:
$$AH=\sqrt{AD^2-DH^2} =\sqrt{a^2-\left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2} =\sqrt{a^2-\frac{a^2}{3}} =\sqrt{\frac{2}{3}a^2} =a\sqrt{\frac{2}{3}}$$
Ответ: $$a\sqrt{\frac{2}{3}}$$.
