Упр.17 Раздел 2 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Докажите, что если две плоскости, пересекающиеся по прямой $$a$$, пересекают плоскость $$\alpha$$ по параллельным прямым, то прямая $$a$$ параллельна плоскости $$\alpha$$ (рис. 32).

Пусть плоскости $$\beta$$ и $$\gamma$$ пересекаются по прямой $$a$$ и пересекают плоскость $$\alpha$$ по прямым $$b$$ и $$c$$ соответственно.

Предположим противное: прямая $$a$$ не параллельна плоскости $$\alpha$$. Тогда она пересекает плоскость $$\alpha$$ в некоторой точке $$A$$.

Но точка $$A$$ принадлежит прямой $$a$$, а значит, принадлежит обеим плоскостям $$\beta$$ и $$\gamma$$. Следовательно, точка $$A$$ лежит и в плоскости $$\alpha$$. Тогда прямые $$b$$ и $$c$$, как линии пересечения плоскостей $$\beta$$ и $$\gamma$$ с плоскостью $$\alpha$$, проходят через точку $$A$$ и пересекаются.

Это противоречит условию, что $$b \parallel c$$. Значит, наше предположение неверно, и прямая $$a$$ не пересекает плоскость $$\alpha$$.

Следовательно, $$a \parallel \alpha$$.