Упр.16 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Найдите радиусы описанной (R) и вписанной (г) окружностей для треугольника со сторонами, равными: 1) 35, 29 8; 2) 4, 5, 7.

Найдём площадь треугольника по формуле Герона:

$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},$$

где $$p=\frac{a+b+c}{2}$$ — полупериметр.

Для радиусов вписанной и описанной окружностей используем формулы:

$$R=\frac{abc}{4S}, \qquad r=\frac{2S}{a+b+c}.$$

1) $$a=35,\ b=29,\ c=8.$$ Тогда

$$p=\frac{35+29+8}{2}=36.$$

$$S=\sqrt{36\cdot(36-35)\cdot(36-29)\cdot(36-8)}=\sqrt{36\cdot1\cdot7\cdot28}=\sqrt{7056}=84.$$

Теперь найдём радиусы:

$$R=\frac{35\cdot29\cdot8}{4\cdot84}=\frac{8120}{336}=\frac{145}{6},$$

$$r=\frac{2\cdot84}{35+29+8}=\frac{168}{72}=\frac{7}{3}.$$

2) $$a=4,\ b=5,\ c=7.$$ Тогда

$$p=\frac{4+5+7}{2}=8.$$

$$S=\sqrt{8\cdot(8-4)\cdot(8-5)\cdot(8-7)}=\sqrt{8\cdot4\cdot3\cdot1}=\sqrt{96}=4\sqrt{6}.$$

Теперь найдём радиусы:

$$R=\frac{4\cdot5\cdot7}{4\cdot4\sqrt{6}}=\frac{140}{16\sqrt{6}}=\frac{35}{4\sqrt{6}},$$

$$r=\frac{2\cdot4\sqrt{6}}{4+5+7}=\frac{8\sqrt{6}}{16}=\frac{\sqrt{6}}{2}.$$

Ответ

$$1)\ R=\frac{145}{6},\ r=\frac{7}{3}; \qquad 2)\ R=\frac{35}{4\sqrt{6}},\ r=\frac{\sqrt{6}}{2}.$$