Упр.16 Раздел 8 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Сосновое бревно длиной 15,5 м имеет диаметры концов 42 см и 25 см. Какую ошибку (в процентах) совершают, когда вычисляют объем бревна, умножая его длину на площадь поперечного сечения в середине бревна?

Рассмотрим бревно как усечённый конус высотой $$h=15{,}5\text{ м}.$$ Диаметры его оснований равны $$42\text{ см}$$ и $$25\text{ см},$$ значит радиусы оснований:

$$R_1=21\text{ см}=0{,}21\text{ м}, \qquad R_2=12{,}5\text{ см}=0{,}125\text{ м}.$$

Если вычислять объём по площади поперечного сечения в середине бревна, то нужно взять средний диаметр:

$$d=\frac{42+25}{2}=33{,}5\text{ см}, \qquad r=\frac{33{,}5}{2}=16{,}75\text{ см}=0{,}1675\text{ м}.$$

Тогда приближённый объём равен

$$V_1=\pi r^2h=\pi\cdot 0{,}1675^2\cdot 15{,}5\approx 0{,}4348\pi\text{ м}^3.$$

Точный объём усечённого конуса:

$$V_2=\frac{1}{3}\pi h\left(R_1^2+R_1R_2+R_2^2\right).$$

Подставим значения:

$$ V_2=\frac{1}{3}\pi\cdot 15{,}5\left(0{,}21^2+0{,}21\cdot 0{,}125+0{,}125^2\right) $$

$$ V_2\approx \frac{15{,}5}{3}\pi\cdot 0{,}0859\approx 0{,}4442\pi\text{ м}^3. $$

Относительная ошибка вычисления:

$$ \varepsilon=\frac{V_2-V_1}{V_2}\cdot 100\%= \frac{0{,}4442\pi-0{,}4348\pi}{0{,}4442\pi}\cdot 100\% \approx 2\%. $$

Ответ

$$\approx 2\%$$