Упр.16 Раздел 8 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Сосновое бревно длиной $$15{,}5\ \text{м}$$ имеет диаметры концов $$42\ \text{см}$$ и $$25\ \text{см}$$. Какую ошибку (в процентах) совершают, когда вычисляют объём бревна, умножая его длину на площадь поперечного сечения в середине бревна?

Рассмотрим осевое сечение бревна. Оно представляет собой равнобедренную трапецию, у которой основания равны диаметрам концов бревна: $$42\text{ см}$$ и $$25\text{ см}.$$

Средняя линия трапеции равна

$$MN=\frac{42+25}{2}=\frac{67}{2}=33{,}5\text{ см}=0{,}335\text{ м}.$$

Если объём бревна вычисляют как произведение длины на площадь поперечного сечения в середине, то получают

$$V_1=\pi\left(\frac{MN}{2}\right)^2h =\pi\cdot\frac{0{,}335^2}{4}\cdot 15{,}5 =0{,}4348\pi\ \text{м}^3.$$

Точный объём усечённого конуса:

$$V_2=\frac13\pi h\left(R_1^2+R_1R_2+R_2^2\right),$$

где $$R_1=0{,}21\text{ м},\quad R_2=0{,}125\text{ м},\quad h=15{,}5\text{ м}.$$ Тогда

$$V_2=\frac13\pi\cdot 15{,}5\left(0{,}21^2+0{,}21\cdot 0{,}125+0{,}125^2\right) =0{,}4442\pi\ \text{м}^3.$$

Относительная ошибка равна

$$\frac{V_2-V_1}{V_2} =\frac{0{,}4442\pi-0{,}4348\pi}{0{,}4442\pi} \approx 0{,}02.$$

Следовательно, ошибка составляет примерно $$2\%.$$

Ответ: $$2\%.$$