Упр.16 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Грани параллелепипеда — равные ромбы со стороной $$a$$ и острым углом $$60^\circ$$. Найдите объём параллелепипеда.
Пусть $$A_1$$ — вершина параллелепипеда, а $$O$$ — основание перпендикуляра, опущенного из $$A_1$$ на плоскость основания.
Проведём в основании перпендикуляры $$A_1M \perp AD$$ и $$A_1K \perp AB$$. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах
$$OM \perp AD,\qquad OK \perp AB.$$
Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle AA_1M$$ и $$\triangle AA_1K$$. У них общая гипотенуза $$AA_1$$ и
$$\angle A_1AM=\angle A_1AK=60^\circ.$$
Следовательно,
$$AM=AK=AA_1\cos 60^\circ=\frac{a}{2}.$$
В треугольнике $$\triangle AMO$$ имеем $$AO$$ — общий катет, а $$AM=AK$$, значит треугольник $$AMO$$ равнобедренный, и
$$\angle KAO=\angle OAM=30^\circ.$$
Тогда
$$AO=\frac{AM}{\cos 30^\circ}=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{a}{\sqrt3}=\frac{a\sqrt3}{3}.$$
Теперь найдём высоту параллелепипеда:
$$A_1O=\sqrt{AA_1^2-AO^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{3}}=a\sqrt{\frac23}.$$
Площадь основания равна площади ромба:
$$S=AB\cdot AD\cdot \sin\angle BAD=a\cdot a\cdot \sin 60^\circ=\frac{a^2\sqrt3}{2}.$$
Тогда объём параллелепипеда
$$V=S\cdot A_1O=\frac{a^2\sqrt3}{2}\cdot a\sqrt{\frac23}=\frac{a^3}{\sqrt2}.$$
Ответ: $$\frac{a^3}{\sqrt2}$$.
