Упр.16 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Высота конуса $$H$$. На каком расстоянии от вершины надо провести плоскость, параллельную основанию, чтобы площадь сечения была равна половине площади основания?

Пусть $$d$$ — расстояние от вершины конуса до секущей плоскости. Тогда сечение, параллельное основанию, подобно основанию конуса, а коэффициент подобия равен

$$k=\frac{d}{H}.$$

Следовательно, радиус сечения равен

$$r=kR=\frac{d}{H}R,$$

где $$R$$ — радиус основания конуса.

Тогда отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия:

$$\frac{S_{\text{сеч}}}{S_{\text{осн}}}=\frac{\pi r^2}{\pi R^2}=\left(\frac{d}{H}\right)^2.$$

По условию $$S_{\text{сеч}}=\frac{1}{2}S_{\text{осн}}$$, значит

$$\left(\frac{d}{H}\right)^2=\frac{1}{2}.$$

Отсюда

$$\frac{d}{H}=\frac{1}{\sqrt{2}}, \qquad d=\frac{H}{\sqrt{2}}.$$

Ответ: $$\frac{H}{\sqrt{2}}$$.