Упр.16 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: B правильной четырехугольной призме через середины двух смежных сторон основания проведена плоскость, пересекающая три боковых ребра и наклоненная к плоскости основания под углом а. Сторона основания равна а. Найдите площадь полученного сечения.

Подробный ответ

Пусть $$M$$ и $$N$$ — середины сторон $$AD$$ и $$DC$$ основания. Тогда плоскость сечения проходит через точки $$M$$ и $$N$$ и пересекает боковые рёбра $$AA_1$$, $$BB_1$$, $$CC_1$$. Следовательно, ортогональной проекцией сечения на плоскость основания будет четырёхугольник $$ABCNM$$.

Площадь сечения связана с площадью его ортогональной проекции формулой

$$S=\frac{S_{ABCNM}}{\cos \alpha}.$$

Найдём площадь проекции. Она равна площади квадрата основания минус площадь треугольника $$MND$$:

$$S_{ABCNM}=S_{ABCD}-S_{MND}.$$

Так как сторона основания равна $$a$$, то

$$S_{ABCD}=a^2.$$

Треугольник $$MND$$ прямоугольный, причём

$$MD=\frac{a}{2}, \qquad DN=\frac{a}{2}.$$

Тогда

$$S_{MND}=\frac{1}{2}\cdot MD \cdot DN=\frac{1}{2}\cdot \frac{a}{2}\cdot \frac{a}{2}=\frac{a^2}{8}.$$

Значит,

$$S_{ABCNM}=a^2-\frac{a^2}{8}=\frac{7a^2}{8}.$$