Упр.16 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- В правильной четырёхугольной призме через середины двух смежных сторон основания проведена плоскость, пересекающая три боковых ребра и наклонённая к плоскости основания под углом $$\alpha$$. Сторона основания равна $$a$$. Найдите площадь полученного сечения.
Пусть $$M$$ и $$N$$ — середины сторон $$AD$$ и $$DC$$ основания. Тогда плоскость сечения пересекает боковые рёбра $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$, а четырёхугольник $$ABCNM$$ является ортогональной проекцией сечения на плоскость основания.
Площадь сечения связана с площадью его проекции формулой:
$$S=\frac{S_{ABCNM}}{\cos \alpha}.$$
Найдём площадь проекции. Она равна площади квадрата $$ABCD$$ без площади треугольника $$MND$$:
$$S_{ABCNM}=S_{ABCD}-S_{MND}.$$
Так как сторона основания равна $$a$$, то
$$S_{ABCD}=a^2.$$
В треугольнике $$MND$$:
$$MD=DN=\frac{a}{2},$$
поэтому
$$S_{MND}=\frac{1}{2}\cdot MD\cdot DN =\frac{1}{2}\cdot \frac{a}{2}\cdot \frac{a}{2} =\frac{a^2}{8}.$$
Тогда
$$S_{ABCNM}=a^2-\frac{a^2}{8}=\frac{7a^2}{8}.$$
Следовательно, площадь сечения равна
$$S=\frac{7a^2}{8\cos \alpha}.$$
Ответ: $$\frac{7a^2}{8\cos \alpha}$$.
