Упр.16 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Докажите, что преобразование симметрии относительно координатной плоскости xy задается формулами x’ = x, у’ = у, z’ = -z.

Подробный ответ

Пусть точка $$A(x,y,z)$$ переходит при симметрии относительно координатной плоскости $$xy$$ в точку $$A'(x’,y’,z’)$$.

Плоскость $$xy$$ состоит из всех точек, у которых $$z=0$$. При отражении относительно этой плоскости точка и её образ лежат на одной прямой, перпендикулярной плоскости $$xy$$. Значит, координаты $$x$$ и $$y$$ не изменяются:

$$x’=x,\qquad y’=y.$$

Остаётся координата $$z$$. Точка $$A’$$ находится на таком же расстоянии от плоскости $$xy$$, как и точка $$A$$, но по другую сторону от неё. Поэтому координата $$z$$ меняет только знак:

$$z’=-z.$$

Следовательно, преобразование симметрии относительно координатной плоскости $$xy$$ задаётся формулами

$$x’=x,\qquad y’=y,\qquad z’=-z.$$