Упр.16 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Докажите, что преобразование симметрии относительно координатной плоскости $$xy$$ задается формулами $$x’=x,\quad y’=y,\quad z’=-z$$.

Пусть точка $$A'(x’,y’,z’)$$ симметрична точке $$A(x,y,z)$$ относительно координатной плоскости $$xy$$.

Точки $$A$$ и $$A’$$ лежат на прямой, перпендикулярной плоскости $$xy$$, значит, их координаты $$x$$ и $$y$$ совпадают:

$$x’=x,\qquad y’=y.$$

Так как точки $$A$$ и $$A’$$ находятся на одинаковом расстоянии от плоскости $$xy$$, но по разные стороны от неё, то их координаты $$z$$ и $$z’$$ отличаются только знаком:

$$z’=-z.$$

Следовательно, преобразование симметрии относительно координатной плоскости $$xy$$ задаётся формулами

$$x’=x,\qquad y’=y,\qquad z’=-z.$$

Ответ

$$x’=x,\qquad y’=y,\qquad z’=-z.$$