Упр.15 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите площади треугольников $$ABO$$, $$BCO$$, $$ACO$$, где $$O$$ — центр окружности, вписанной в треугольник $$ABC$$, у которого $$AB=28\text{ см}$$, $$BC=15\text{ см}$$, $$AC=41\text{ см}$$.

Пусть $$r$$ — радиус вписанной окружности. Тогда расстояния от центра $$O$$ до сторон треугольника равны:

$$OM=ON=OE=r.$$

Площади треугольников с общей вершиной $$O$$ выражаются через основание и высоту:

$$S_{ABO}=\frac12\cdot AB\cdot OE=\frac12\cdot 28\cdot r=14r,$$

$$S_{BCO}=\frac12\cdot BC\cdot OM=\frac12\cdot 15\cdot r=\frac{15}{2}r,$$

$$S_{ACO}=\frac12\cdot AC\cdot ON=\frac12\cdot 41\cdot r=\frac{41}{2}r.$$

Найдём радиус $$r$$. Полупериметр треугольника $$ABC$$ равен

$$p=\frac{28+15+41}{2}=42.$$

По формуле Герона:

$$S_{ABC}=\sqrt{42\cdot(42-28)\cdot(42-15)\cdot(42-41)}=\sqrt{42\cdot14\cdot27\cdot1}=126.$$

С другой стороны, площадь всего треугольника равна сумме площадей трёх треугольников:

$$S_{ABC}=S_{ABO}+S_{BCO}+S_{ACO}=14r+\frac{15}{2}r+\frac{41}{2}r=42r.$$

Тогда

$$42r=126,\qquad r=3.$$

Теперь находим искомые площади:

$$S_{ABO}=14\cdot3=42\text{ см}^2,$$

$$S_{BCO}=\frac{15}{2}\cdot3=22{,}5\text{ см}^2,$$

$$S_{ACO}=\frac{41}{2}\cdot3=61{,}5\text{ см}^2.$$

Ответ: $$S_{ABO}=42\text{ см}^2,\; S_{BCO}=22{,}5\text{ см}^2,\; S_{ACO}=61{,}5\text{ см}^2.$$