Упр.15 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Найдите площади треугольников ABO, BCO, ACO, где O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC, у которого AB = 28 см, BC = 15 см, AC = 41 см.
Проведём перпендикуляры $$OE$$, $$OM$$ и $$ON$$ к сторонам $$AB$$, $$BC$$ и $$AC$$ соответственно. Так как $$O$$ — центр вписанной окружности, то
$$OE=OM=ON=r,$$
где $$r$$ — радиус вписанной окружности.
Тогда площади треугольников равны:
$$S_{ABO}=\frac{1}{2}\cdot AB \cdot OE=\frac{1}{2}\cdot 28\cdot r=14r,$$
$$S_{BCO}=\frac{1}{2}\cdot BC \cdot OM=\frac{1}{2}\cdot 15\cdot r=\frac{15}{2}r,$$
$$S_{ACO}=\frac{1}{2}\cdot AC \cdot ON=\frac{1}{2}\cdot 41\cdot r=\frac{41}{2}r.$$
Найдём радиус $$r$$. Полупериметр треугольника $$ABC$$:
$$p=\frac{AB+BC+AC}{2}=\frac{28+15+41}{2}=42.$$
По формуле Герона:
$$S_{ABC}=\sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)}$$
$$S_{ABC}=\sqrt{42\cdot(42-28)\cdot(42-15)\cdot(42-41)}=\sqrt{42\cdot14\cdot27\cdot1}=126.$$
С другой стороны, площадь треугольника $$ABC$$ равна сумме площадей трёх треугольников:
$$S_{ABC}=S_{ABO}+S_{BCO}+S_{ACO}.$$
Подставим найденные выражения:
$$126=14r+\frac{15}{2}r+\frac{41}{2}r=42r,$$
откуда
$$r=3.$$
Теперь найдём искомые площади:
$$S_{ABO}=14\cdot3=42\text{ см}^2,$$
$$S_{BCO}=\frac{15}{2}\cdot3=22{,}5\text{ см}^2,$$
$$S_{ACO}=\frac{41}{2}\cdot3=61{,}5\text{ см}^2.$$
Ответ
$$S_{ABO}=42\text{ см}^2,\quad S_{BCO}=22{,}5\text{ см}^2,\quad S_{ACO}=61{,}5\text{ см}^2.$$