Упр.15 Раздел 8 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Найдите объем усеченного конуса, у которого радиусы оснований равны $$R_1$$ и $$R_2$$ ($$R_2

Подробный ответ

Достроим усечённый конус до полного конуса с высотой $$x$$. Тогда объём усечённого конуса равен разности объёмов двух подобных конусов: большого с радиусом основания $$R_1$$ и высотой $$x$$ и малого с радиусом основания $$R_2$$ и высотой $$x-h$$.

Из подобия конусов имеем

$$\frac{x}{x-h}=\frac{R_1}{R_2}.$$

Отсюда

$$xR_2=(x-h)R_1,$$

$$x(R_1-R_2)=hR_1,$$

$$x=\frac{hR_1}{R_1-R_2}.$$

Тогда

$$V=\frac13\pi R_1^2x-\frac13\pi R_2^2(x-h).$$

Подставим найденное значение $$x$$:

$$V=\frac13\pi R_1^2\cdot \frac{hR_1}{R_1-R_2}-\frac13\pi R_2^2\left(\frac{hR_1}{R_1-R_2}-h\right).$$

Упростим выражение:

$$V=\frac13\pi h\cdot \frac{R_1^3-R_2^3}{R_1-R_2} =\frac13\pi h\,(R_1^2+R_1R_2+R_2^2).$$