Упр.15 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- 7–15. Основание наклонного параллелепипеда — квадрат, сторона которого равна 1 м. Одно из боковых рёбер равно 2 м и образует с каждой из прилежащих сторон основания угол 60°. Найдите объём параллелепипеда.
Пусть $$A_1A=2\text{ м}$$ — боковое ребро параллелепипеда. Проведём из точки $$A_1$$ перпендикуляры к сторонам основания $$AD$$ и $$AB$$.
Так как ребро $$A_1A$$ образует с каждой из прилежащих сторон основания угол $$60^\circ$$, то
$$AA_1\cos 60^\circ=2\cdot \frac12=1\text{ м}.$$
Следовательно, $$AD=1\text{ м}$$ и $$AB=1\text{ м}$$, а значит, основание $$ABCD$$ — квадрат со стороной $$1\text{ м}$$.
По теореме о трёх перпендикулярах $$A_1C\perp BC$$, значит, $$A_1C$$ — высота параллелепипеда.
Найдём диагональ основания:
$$AC=AB\sqrt2=1\cdot \sqrt2=\sqrt2\text{ м}.$$
В прямоугольном треугольнике $$AA_1C$$ имеем
$$A_1C=\sqrt{AA_1^2-AC^2}=\sqrt{2^2-(\sqrt2)^2}=\sqrt{4-2}=\sqrt2\text{ м}.$$
Тогда объём параллелепипеда равен
$$V=S_{ABCD}\cdot A_1C=1^2\cdot \sqrt2=\sqrt2\text{ м}^3.$$
Ответ: $$\sqrt2\text{ м}^3$$.
