Упр.15 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Через сторону нижнего основания правильной треугольной призмы проведена плоскость, пересекающая боковые грани по отрезкам, угол между которыми $$\alpha$$. Найдите угол наклона этой плоскости к основанию призмы (рис. 118).

Пусть плоскость проходит через сторону $$AC$$ нижнего основания и пересекает боковые грани по отрезкам, образующим угол $$\alpha$$. Обозначим искомый угол наклона этой плоскости к основанию через $$x$$.

Проведём в основании высоту $$BH$$ треугольника $$ABC$$, тогда в равностороннем треугольнике $$ABC$$ имеем

$$BH=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$

Пусть $$D$$ — точка пересечения плоскости с боковым ребром призмы. Тогда угол между следами плоскости на боковых гранях равен $$\alpha$$, значит

$$\angle ADC=\alpha,$$

а поскольку $$AC$$ лежит в основании, то

$$\angle ADH=\frac{\alpha}{2}.$$

В прямоугольном треугольнике $$ADH$$ получаем

$$DH=\frac{AH}{\tg \frac{\alpha}{2}}.$$

Так как $$AH=\frac{a}{2}$$, то

$$DH=\frac{a}{2\tg \frac{\alpha}{2}}.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$DBH$$. Тогда

$$\cos x=\frac{BH}{DH}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a}{2\tg \frac{\alpha}{2}}}=\sqrt{3}\,\tg \frac{\alpha}{2}.$$

Следовательно, угол наклона плоскости к основанию удовлетворяет равенству

$$\cos x=\sqrt{3}\,\tg \frac{\alpha}{2}.$$