Упр.14 Раздел 8 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Прямоугольный треугольник с катетами $$a$$ и $$b$$ вращается около гипотенузы. Найдите объём полученного тела (рис. 189).

Пусть $$AB$$ — гипотенуза прямоугольного треугольника $$ABC$$, где $$AC=a$$, $$CB=b$$, $$\angle C=90^\circ$$. Тогда

$$AB=\sqrt{AC^2+CB^2}=\sqrt{a^2+b^2}.$$

Проведём высоту $$CO\perp AB$$. Тогда площадь треугольника можно выразить двумя способами:

$$S=\frac12 AC\cdot CB=\frac12 AB\cdot CO.$$

Отсюда

$$CO=\frac{AC\cdot CB}{AB}=\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}.$$

При вращении треугольника около гипотенузы получается тело, состоящее из двух конусов с общим основанием радиуса $$CO$$ и высотами $$AO$$ и $$BO$$. Поэтому

$$V=\frac13\pi CO^2\cdot AO+\frac13\pi CO^2\cdot BO=\frac13\pi CO^2(AO+BO).$$

Так как $$AO+BO=AB$$, то

$$V=\frac13\pi CO^2\cdot AB=\frac13\pi\cdot \frac{a^2b^2}{a^2+b^2}\cdot \sqrt{a^2+b^2}=\frac{\pi a^2b^2}{3\sqrt{a^2+b^2}}.$$

Ответ: $$\frac{\pi a^2b^2}{3\sqrt{a^2+b^2}}$$.