Упр.14 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Решите предыдущую задачу в общем случае, если площадь ромба $$Q$$, а площади диагональных сечений $$M$$ и $$N$$.

Пусть $$AA_1$$ — высота прямого параллелепипеда.

Площадь основания — ромба — равна $$Q$$. Тогда, если диагонали ромба равны $$AC$$ и $$BD$$, имеем

$$Q=\frac12 AC\cdot BD,$$

откуда

$$AC\cdot BD=2Q.$$

Диагональные сечения $$ACC_1A_1$$ и $$BDD_1B_1$$ — прямоугольники. Поэтому

$$M=S_{ACC_1A_1}=AC\cdot AA_1,$$

$$N=S_{BDD_1B_1}=BD\cdot AA_1.$$

Перемножим эти равенства:

$$MN=AC\cdot BD\cdot AA_1^2.$$

С учётом $$AC\cdot BD=2Q$$ получаем

$$MN=2Q\cdot AA_1^2,$$

значит

$$AA_1=\sqrt{\frac{MN}{2Q}}.$$

Теперь объём параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту:

$$V=Q\cdot AA_1=Q\sqrt{\frac{MN}{2Q}}=\sqrt{\frac{MNQ}{2}}.$$

Ответ: $$\sqrt{\frac{MNQ}{2}}$$.