Упр.14 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В правильной шестиугольной призме, у которой боковые грани — квадраты, проведите плоскость через сторону нижнего основания и противолежащую ей сторону верхнего основания. Сторона основания равна $$a$$. Найдите площадь построенного сечения (рис. 117).

Пусть плоскость сечения проходит через ребро $$AB$$ нижнего основания и противолежащее ему ребро $$E_1D_1$$ верхнего основания. Тогда сечение — шестиугольник $$ABND_1E_1M$$.

Найдём его площадь через площадь ортогональной проекции на основание призмы:

$$S_{\text{сеч}}=\frac{S_{\text{осн}}}{\cos \alpha},$$

где $$\alpha$$ — угол между плоскостью сечения и плоскостью основания.

Так как основание призмы — правильный шестиугольник, то $$EA\perp AB$$. Следовательно, и $$E_1E\perp AB$$. Поэтому угол между плоскостью сечения и основанием равен $$\angle EAE_1=\alpha$$.

В правильном шестиугольнике $$AE=a\sqrt{3}$$, а $$EE_1=a$$, так как боковые грани — квадраты. Тогда в прямоугольном треугольнике $$AEE_1$$:

$$AE_1=\sqrt{AE^2+EE_1^2}=\sqrt{(a\sqrt{3})^2+a^2}=2a.$$

Отсюда

$$\cos\alpha=\frac{AE}{AE_1}=\frac{a\sqrt{3}}{2a}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Площадь основания правильного шестиугольника:

$$S_{\text{осн}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2.$$

Тогда

$$S_{\text{сеч}}=\frac{S_{\text{осн}}}{\cos\alpha}=\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=3a^2.$$

Ответ: $$3a^2$$.