Упр.14 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Через точки $$A$$ и $$B$$ проведены прямые, перпендикулярные плоскости $$\alpha$$, пересекающие её в точках $$C$$ и $$D$$ соответственно. Найдите расстояние между точками $$A$$ и $$B$$, если $$AC=3\ \text{м}$$, $$BD=2\ \text{м}$$, $$CD=2{,}4\ \text{м}$$ и отрезок $$AB$$ не пересекает плоскость $$\alpha$$.

Так как $$AC \perp \alpha$$ и $$BD \perp \alpha$$, то прямые $$AC$$ и $$BD$$ параллельны.

Проведём через точку $$B$$ прямую $$BE \perp BC$$. Тогда $$BE \perp AC$$, а также $$BD \perp DC$$ и $$BE \perp BD$$, значит, четырёхугольник $$BEDC$$ — прямоугольник. Следовательно,

$$EC=BD=2\text{ м},$$

а так как $$AC=3\text{ м},$$ то

$$AE=AC-EC=3-2=1\text{ м}.$$

Кроме того, в прямоугольнике $$BEDC$$ имеем

$$BE=DC=2{,}4\text{ м}.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABE$$:

$$AB=\sqrt{AE^2+BE^2}=\sqrt{1^2+2{,}4^2}=\sqrt{1+5{,}76}=\sqrt{6{,}76}=2{,}6\text{ м}.$$

Ответ: $$2{,}6\text{ м}$$.