Упр.14 Раздел 1 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Дано: Четыре точки A, B, C и D; прямая проходящая через любые
две точки не пересекается с прямой, проходящей через две другие
точки;
Доказать: Точки A, B, C и D не лежат в одной плоскости;
Доказательство:
1) Воспользуемся доказательством от противного:
Пусть точки A, B, C и D лежат в одной плоскости;
2) Прямые AB и CD, а также прямые AC и BD не пересекаются (по
условию), следовательно они попарно параллельны, тогда точки
A, B, C и D являются вершинами параллелограмма ABCD;
3) AD и BC-диагонали параллелограмма, значит они всегда
пересекаются, что противоречит условию задачи, следовательно
точки A, B, C и D не лежат в одной плоскости, что и требовалось
доказать.

Подробный ответ

Рассмотрим доказательство от противного. Предположим, что точки $$A, B, C, D$$ лежат в одной плоскости.

Тогда прямые $$AB$$ и $$CD$$, а также прямые $$AC$$ и $$BD$$ лежат в одной плоскости. По условию задачи каждая из этих пар прямых не пересекается, значит в плоскости они параллельны.

Следовательно, четырехугольник $$ABCD$$ является параллелограммом. Но у параллелограмма диагонали пересекаются, то есть прямые $$AD$$ и $$BC$$ должны иметь общую точку. Это противоречит условию, согласно которому прямая, проходящая через любые две точки, не пересекается с прямой, проходящей через две другие точки.

Противоречие показывает, что предположение неверно. Значит, точки $$A, B, C, D$$ не лежат в одной плоскости.