Упр.14 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Найдите стороны треугольника ABC, если площади треугольников ABOy BCO и ACO, где O — центр вписанной окружности, равны 52 дм2, 30 дм2 и 74 дм2.
Пусть $$r$$ — радиус вписанной окружности треугольника $$ABC$$. Тогда расстояния от центра вписанной окружности $$O$$ до сторон треугольника равны $$r$$.
Площади треугольников выражаются через основание и высоту:
$$S_{ABO}=\frac12\cdot AB\cdot r=52,$$
откуда
$$AB=\frac{2\cdot 52}{r}=\frac{104}{r}.$$
Аналогично:
$$BC=\frac{2\cdot 30}{r}=\frac{60}{r}, \qquad AC=\frac{2\cdot 74}{r}=\frac{148}{r}.$$
Сумма площадей трёх треугольников равна площади всего треугольника:
$$S_{ABC}=52+30+74=156.$$
С другой стороны, для треугольника с вписанной окружностью
$$S_{ABC}=pr,$$
где $$p$$ — полупериметр. Найдём его:
$$p=\frac{AB+BC+AC}{2}=\frac{\frac{104}{r}+\frac{60}{r}+\frac{148}{r}}{2}=\frac{312}{2r}=\frac{156}{r}.$$
Тогда
$$156=S_{ABC}=pr=\frac{156}{r}\cdot r=156,$$
а по формуле Герона:
$$S_{ABC}=\sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)}.$$
Подставим найденные выражения:
$$156=\sqrt{\frac{156}{r}\left(\frac{156}{r}-\frac{104}{r}\right)\left(\frac{156}{r}-\frac{60}{r}\right)\left(\frac{156}{r}-\frac{148}{r}\right)}$$
$$156=\sqrt{\frac{156\cdot 52\cdot 96\cdot 8}{r^4}}.$$
После упрощения получаем $$r=4$$ дм.
Теперь найдём стороны:
$$AB=\frac{104}{4}=26\text{ дм},$$
$$BC=\frac{60}{4}=15\text{ дм},$$
$$AC=\frac{148}{4}=37\text{ дм}.$$
Ответ
$$AB=26\text{ дм},\ BC=15\text{ дм},\ AC=37\text{ дм}.$$