Упр.14 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите стороны треугольника $$ABC$$, если площади треугольников $$ABO$$, $$BCO$$ и $$ACO$$, где $$O$$ — центр вписанной окружности, равны $$52\ \text{дм}^2$$, $$30\ \text{дм}^2$$ и $$74\ \text{дм}^2$$.

Пусть $$r$$ — радиус вписанной окружности треугольника $$ABC$$. Тогда расстояния от центра $$O$$ до сторон треугольника равны $$r$$, поэтому

$$S_{ABO}=\frac12\cdot AB\cdot r=52,$$

откуда

$$AB=\frac{104}{r}.$$

Аналогично:

$$BC=\frac{60}{r}, \qquad AC=\frac{148}{r}.$$

Сложим площади трёх треугольников:

$$S_{ABC}=S_{ABO}+S_{BCO}+S_{ACO}=52+30+74=156.$$

С другой стороны, для треугольника с полупериметром $$p$$ имеем

$$S_{ABC}=pr,$$

где

$$p=\frac{AB+BC+AC}{2}=\frac{\frac{104}{r}+\frac{60}{r}+\frac{148}{r}}{2}=\frac{156}{r}.$$

Тогда

$$156=S_{ABC}=pr=\frac{156}{r}\cdot r,$$

что подтверждает найденное значение площади. Теперь воспользуемся формулой Герона:

$$156=\sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)}.$$

Подставим выражения через $$r$$:

$$156=\sqrt{\frac{156}{r}\left(\frac{156}{r}-\frac{104}{r}\right)\left(\frac{156}{r}-\frac{60}{r}\right)\left(\frac{156}{r}-\frac{148}{r}\right)}$$

$$=\sqrt{\frac{156\cdot 52\cdot 96\cdot 8}{r^4}}.$$

Возведём в квадрат:

$$156^2=\frac{156\cdot 52\cdot 96\cdot 8}{r^4}.$$

После сокращения получаем

$$156=\frac{52\cdot 96\cdot 8}{r^4}.$$

Отсюда

$$r=4.$$

Тогда

$$AB=\frac{104}{4}=26,$$

$$BC=\frac{60}{4}=15,$$

$$AC=\frac{148}{4}=37.$$

Ответ: $$AB=26$$ дм, $$BC=15$$ дм, $$AC=37$$ дм.