Упр.13 Раздел 8 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

8. Равносторонний треугольник вращается вокруг своей стороны $$a$$. Найдите объём полученного тела вращения.

Так как $$\triangle ABC$$ равносторонний, то высота $$CO$$ является одновременно медианой и биссектрисой. Поэтому

$$AO=OB=\frac{1}{2}AB=\frac{a}{2},$$

а из свойства равностороннего треугольника

$$OC=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$

При вращении треугольника вокруг стороны $$AB$$ получается тело, состоящее из двух равных конусов с общим основанием радиуса $$OC$$ и высотами $$AO$$ и $$OB$$.

Тогда объём тела вращения равен сумме объёмов этих конусов:

$$V=2\cdot \frac{1}{3}\pi OC^2\cdot AO$$

Подставим найденные значения:

$$V=2\cdot \frac{1}{3}\pi \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2\cdot \frac{a}{2} =2\cdot \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{3a^2}{4}\cdot \frac{a}{2} =\frac{\pi}{4}a^3.$$

Ответ: $$\frac{\pi}{4}a^3$$.