Упр.13 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Основание прямого параллелепипеда — ромб, площадь которого $$1\ \text{м}^2$$. Площади диагональных сечений $$3\ \text{м}^2$$ и $$6\ \text{м}^2$$. Найдите объем параллелепипеда.

Площадь ромба выражается через его диагонали:

$$S=\frac12 AC\cdot BD.$$

Так как $$S=1\text{ м}^2,$$ то

$$AC\cdot BD=2.$$

Диагональные сечения прямого параллелепипеда $$ACC_1A_1$$ и $$BDD_1B_1$$ — прямоугольники. Поэтому их площади равны:

$$AC\cdot AA_1=3,$$

$$BD\cdot AA_1=6.$$

Перемножим эти равенства:

$$AC\cdot BD\cdot AA_1^2=18.$$

Подставим $$AC\cdot BD=2$$:

$$2\cdot AA_1^2=18,$$

$$AA_1^2=9,$$

$$AA_1=3\text{ м}.$$

Теперь найдём объём параллелепипеда:

$$V=S_{\text{осн}}\cdot AA_1=1\cdot 3=3\text{ м}^3.$$

Ответ: $$3\text{ м}^3$$.