Упр.13 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Высота конуса 20, радиус его основания 25. Найдите площадь сечения, проведенного через вершину, если расстояние от него до центра основания конуса равно 12.

Пусть $$O$$ — центр основания конуса, $$C$$ — его вершина, $$h=CO=20$$, $$r=25$$. Сечение проходит через вершину и пересекает основание по хорде $$MK$$. Обозначим через $$D$$ середину хорды $$MK$$. Тогда $$OD \perp MK$$.

Проведём в плоскости сечения перпендикуляр $$OE$$ к прямой $$CD$$. По условию расстояние от центра основания до секущей плоскости равно $$12$$, значит $$OE=12$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$COD$$. Тогда

$$ \sin \angle OCE=\frac{OE}{OC}=\frac{12}{20}=0{,}6, $$
$$ \cos \angle OCE=\sqrt{1-\sin^2 \angle OCE}=\sqrt{1-0{,}36}=0{,}8, $$
$$ \tan \angle OCE=\frac{\sin \angle OCE}{\cos \angle OCE}=\frac{0{,}6}{0{,}8}=0{,}75. $$

Следовательно,

$$ OD=CO\cdot \tan \angle OCE=20\cdot 0{,}75=15. $$

Тогда в прямоугольном треугольнике $$COD$$

$$ CD=\sqrt{CO^2+OD^2}=\sqrt{20^2+15^2}=25. $$

Теперь найдём половину хорды $$MK$$. В прямоугольном треугольнике $$OMD$$:

$$ MD=\sqrt{OM^2-OD^2}=\sqrt{25^2-15^2}=20. $$

Значит,

$$ MK=2MD=40. $$

Площадь треугольника сечения $$CMK$$ равна

$$ S_{CMK}=\frac{1}{2}\cdot MK \cdot CD=\frac{1}{2}\cdot 40 \cdot 25=500. $$

Ответ

$$500$$