Упр.13 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. 6.13. Высота конуса $$20$$, радиус его основания $$25$$. Найдите площадь сечения, проведённого через вершину, если расстояние от него до центра основания конуса равно $$12$$.

Проведём в плоскости основания конуса прямую $$OD \perp MK.$$ Тогда по теореме о трёх перпендикулярах $$CD \perp MK.$$ Обозначим через $$E$$ основание перпендикуляра из $$O$$ на $$CD$$. По условию $$OE=12$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$OCE$$, где $$OC=20$$:

$$\sin \angle OCE=\frac{OE}{OC}=\frac{12}{20}=0{,}6,$$
$$\cos \angle OCE=\sqrt{1-\sin^2 \angle OCE}=\sqrt{1-0{,}36}=0{,}8,$$
$$\tan \angle OCE=\frac{\sin \angle OCE}{\cos \angle OCE}=\frac{0{,}6}{0{,}8}=0{,}75.$$

Тогда

$$OD=CO \cdot \tan \angle OCE=20 \cdot 0{,}75=15.$$

В прямоугольном треугольнике $$COD$$ найдём $$CD$$:

$$CD=\sqrt{CO^2+OD^2}=\sqrt{20^2+15^2}=\sqrt{625}=25.$$

Теперь в прямоугольном треугольнике $$OMD$$:

$$MD=\sqrt{OM^2-OD^2}=\sqrt{25^2-15^2}=\sqrt{400}=20.$$

Так как $$D$$ — середина хорды $$MK$$, то

$$MK=2MD=40.$$

Площадь сечения $$CMK$$ равна площади треугольника с основанием $$MK$$ и высотой $$CD$$:

$$S_{CMK}=\frac12 \cdot MK \cdot CD=\frac12 \cdot 40 \cdot 25=500.$$

Ответ: $$500$$.