Упр.13 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. 5-13. Основанием призмы является правильный шестиугольник со стороной $$a$$, боковые грани — квадраты. Найдите диагонали призмы и площади её диагональных сечений.

Так как боковые грани призмы — квадраты, то боковое ребро равно стороне основания: $$AA_1=a.$$ Следовательно, призма прямая и все её боковые грани — квадраты.

Диагональные сечения проходят через диагонали оснований. Для правильного шестиугольника диагонали бывают двух видов:

• меньшая диагональ $$AC$$, соединяющая вершины через одну;
• большая диагональ $$AD$$, соединяющая противоположные вершины.

Диагональные сечения призмы — прямоугольники $$AA_1C_1C$$ и $$AA_1D_1D$$.

Найдём длины диагоналей основания. В правильном шестиугольнике со стороной $$a$$:

$$AC=a\sqrt{3},$$
$$AD=2a.$$

Тогда площади диагональных сечений равны:

$$S_{AA_1C_1C}=AA_1\cdot AC=a\cdot a\sqrt{3}=a^2\sqrt{3},$$
$$S_{AA_1D_1D}=AA_1\cdot AD=a\cdot 2a=2a^2.$$

Теперь найдём диагонали призмы по теореме Пифагора:

$$AC_1=\sqrt{AA_1^2+AC^2}=\sqrt{a^2+3a^2}=2a,$$
$$AD_1=\sqrt{AA_1^2+AD^2}=\sqrt{a^2+4a^2}=a\sqrt{5}.$$

Ответ: диагонали призмы $$2a$$ и $$a\sqrt{5}$$; площади диагональных сечений $$a^2\sqrt{3}$$ и $$2a^2$$.