Упр.13 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: 13. Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD, если координаты трех других его вершин известны:1) A (2; 3; 2), B (0; 2; 4), C (4; 1; 0); 2) A (1; -1; 0), B (0; 1; -1), C (-1; 0; 1); 3) A (4; 2; -1), B (1; -3; 2), C (-4; 2; 1).

Подробный ответ

Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Значит, если обозначить точку пересечения диагоналей через $$O$$, то $$O$$ — середина как $$AC$$, так и $$BD$$.

Найдём координаты точки $$O$$ как середины отрезка $$AC$$ по формуле середины отрезка:

$$ O\left(\frac{x_A+x_C}{2};\frac{y_A+y_C}{2};\frac{z_A+z_C}{2}\right) $$

1) $$A(2;3;2),\ B(0;2;4),\ C(4;1;0)$$

$$ x_O=\frac{2+4}{2}=3,\quad y_O=\frac{3+1}{2}=2,\quad z_O=\frac{2+0}{2}=1 $$

Теперь найдём координаты точки $$D$$, считая $$O$$ серединой отрезка $$BD$$:

$$ x_O=\frac{x_B+x_D}{2},\quad y_O=\frac{y_B+y_D}{2},\quad z_O=\frac{z_B+z_D}{2} $$

$$ 3=\frac{0+x_D}{2},\quad 2=\frac{2+y_D}{2},\quad 1=\frac{4+z_D}{2} $$

$$ x_D=6,\quad y_D=2,\quad z_D=-2 $$

2) $$A(1;-1;0),\ B(0;1;-1),\ C(-1;0;1)$$

$$ x_O=\frac{1+(-1)}{2}=0,\quad y_O=\frac{-1+0}{2}=-\frac{1}{2},\quad z_O=\frac{0+1}{2}=\frac{1}{2} $$

$$ 0=\frac{0+x_D}{2},\quad -\frac{1}{2}=\frac{1+y_D}{2},\quad \frac{1}{2}=\frac{-1+z_D}{2} $$

$$ x_D=0,\quad y_D=-2,\quad z_D=2 $$