Упр.13 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите координаты вершины $$D$$ параллелограмма $$ABCD$$, если координаты трех других его вершин известны: 1) $$A(2; 3; 2)$$, $$B(0; 2; 4)$$, $$C(4; 1; 0)$$; 2) $$A(1; -1; 0)$$, $$B(0; 1; -1)$$, $$C(-1; 0; 1)$$; 3) $$A(4; 2; -1)$$, $$B(1; -3; 2)$$, $$C(-4; 2; 1)$$.

Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам, значит, точка $$O$$ — середина диагоналей $$AC$$ и $$BD$$.

Найдём координаты точки $$O$$ как середины отрезка $$AC$$:

$$O\left(\frac{x_A+x_C}{2};\frac{y_A+y_C}{2};\frac{z_A+z_C}{2}\right)$$

Далее используем то, что $$O$$ — середина отрезка $$BD$$, то есть

$$O\left(\frac{x_B+x_D}{2};\frac{y_B+y_D}{2};\frac{z_B+z_D}{2}\right).$$

1)

$$O\left(\frac{2+4}{2};\frac{3+1}{2};\frac{2+0}{2}\right)=(3;2;1).$$

Тогда

$$3=\frac{x+0}{2},\qquad 2=\frac{y+2}{2},\qquad 1=\frac{z+4}{2}.$$

Отсюда

$$x=6,\qquad y=2,\qquad z=-2.$$

Ответ: $$D(6;2;-2).$$

2)

$$O\left(\frac{1+(-1)}{2};\frac{-1+0}{2};\frac{0+1}{2}\right)=\left(0;-\frac12;\frac12\right).$$

Тогда

$$0=\frac{x+0}{2},\qquad -\frac12=\frac{y+1}{2},\qquad \frac12=\frac{z-1}{2}.$$

Отсюда

$$x=0,\qquad y=-2,\qquad z=2.$$

Ответ: $$D(0;-2;2).$$

3)

$$O\left(\frac{4+(-4)}{2};\frac{2+2}{2};\frac{-1+1}{2}\right)=(0;2;0).$$

Тогда

$$0=\frac{x+1}{2},\qquad 2=\frac{y-3}{2},\qquad 0=\frac{z+2}{2}.$$

Отсюда

$$x=-1,\qquad y=7,\qquad z=-2.$$

Ответ: $$D(-1;7;-2).$$