Упр.13 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Через вершину квадрата ABCD проведена прямая BM, перпендикулярная его плоскости. Докажите, что: 1) прямая AD перпендикулярна плоскости прямых AB и BM;2) прямая CD перпендикулярна плоскости прямых BC и BM.

Подробный ответ

а) Рассмотрим плоскость $$ABM$$. В этой плоскости проведём через точку $$A$$ прямую $$AA_1$$, параллельную $$BM$$. Тогда $$AA_1 \perp AD$$, так как в квадрате $$ABCD$$ имеем $$AB \perp AD$$, а прямая $$AA_1$$ параллельна $$BM$$ и лежит в плоскости $$ABM$$.

Кроме того, $$AB \perp AD$$, поскольку $$ABCD$$ — квадрат. Значит, прямая $$AD$$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $$AB$$ и $$BM$$, лежащим в плоскости $$ABM$$. Следовательно,

$$AD \perp (ABM).$$

б) Аналогично рассмотрим плоскость $$BCM$$. В этой плоскости проведём через точку $$C$$ прямую $$CC_1$$, параллельную $$BM$$. Тогда $$CC_1 \perp CD$$.

Так как $$BC \perp CD$$ в квадрате $$ABCD$$, то прямая $$CD$$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $$BC$$ и $$BM$$, лежащим в плоскости $$BCM$$. Следовательно,

$$CD \perp (BCM).$$