Упр.13 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Через вершину квадрата $$ABCD$$ проведена прямая $$BM$$, перпендикулярная его плоскости. Докажите, что: 1) прямая $$AD$$ перпендикулярна плоскости прямых $$AB$$ и $$BM$$; 2) прямая $$CD$$ перпендикулярна плоскости прямых $$BC$$ и $$BM$$.

Проведём в плоскости $$ABM$$ через точку $$A$$ прямую $$AA_1$$, параллельную $$BM$$. Тогда $$AA_1 \perp AD$$, так как $$BM \perp (ABCD)$$, а значит, $$BM \perp AD$$.

Кроме того, в квадрате $$ABCD$$ имеем $$AB \perp AD$$. Следовательно, прямая $$AD$$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $$AB$$ и $$AA_1$$, лежащим в плоскости $$ABM$$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости получаем:

$$AD \perp (ABM).$$

Аналогично, в плоскости $$MBC$$ проведём через точку $$C$$ прямую $$CC_1$$, параллельную $$BM$$. Тогда $$CC_1 \perp CD$$, так как $$BM \perp (ABCD)$$, значит $$BM \perp CD$$.

В квадрате $$ABCD$$ также $$BC \perp CD$$. Следовательно, прямая $$CD$$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $$BC$$ и $$CC_1$$, лежащим в плоскости $$MBC$$. Поэтому

$$CD \perp (MBC).$$

Ответ: $$AD \perp (ABM), \quad CD \perp (MBC).$$